Exercs. 13-20: Calcule a integral iterada.
15 integral1^2 integral1-x^raizx x^2 y d y d x

Passo 1

Nessa questão, queremos calcular a integral iterada
15integral1^2integral1-x^raizx x^2y,dy,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas via o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois em x.

Passo 2

Como x^2 é constante em relação a y, usamos a fórmula integral y,dy=tfracy^22. Assim, a integral interna fica:
integral1-x^raizx x^2y,dy = x^2l[tfracy^22r]1-x^raizx = x^22l(,x - (1 - x)^2r)

Passo 3

Agora simplificamos (1-x)^2=1-2x+x^2, de modo que
x^22l(x - (1-2x+x^2)r) = x^22(3x -1 -x^2) = 3x^3 - x^2 - x^42
Logo a integral original virou
15integral1^2 3x^3-x^2-x^42,dx = 152integral1^2(3x^3-x^2-x^4),dx

Passo 4

Aplicamos a regra de potência integral x^ndx=tfracx^n+1n+1. Assim,
integral(3x^3-x^2-x^4),dx = 34x^4 - 13x^3 - 15x^5
Com o fator externo, o antiderivado completo é
152l(34x^4 - 13x^3 - 15x^5r)

Passo 5

Agora avaliamos esse antiderivado de x=1 a x=2. A diferença interna dá
tfrac152
. Multiplicando por , obtemos o valor da integral iterada.

Resposta

\tfrac{163}{8}

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