Dado o campo vetorial
e uma curva C dada pelo arco de parábola
de
a
:
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
tal que
;
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
que é um arco de parábola
indo de
até
. O que a gente precisa fazer é verificar se esse campo é conservativo usando um teorema que a gente estudou em sala. Se for conservativo, a gente também vai encontrar uma função
tal que
(ou seja,
é uma função potencial para
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Isso significa que a integral do campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Para verificar se o campo
é conservativo, a gente pode usar o seguinte critério em duas dimensões: se
, então
é conservativo se e somente se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 3
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto,
é um campo conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, precisamos encontrar uma função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
. Diferenciando
em relação a
:
Integrando
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Podemos simplificar removendo a constante
, já que a função potencial é definida até uma constante. Portanto:
Resposta
O campo vetorial
é conservativo. Uma função potencial para
é: