Dado o campo vetorial F(x, y)=(x^2, y^2) e uma curva C dada pelo arco de parábola y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8) :
Determine se o campo é conservativo utilizando teorema dado em sala de aula. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma curva que é um arco de parábola indo de até . O que a gente precisa fazer é verificar se esse campo é conservativo usando um teorema que a gente estudou em sala. Se for conservativo, a gente também vai encontrar uma função tal que (ou seja, é uma função potencial para ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar partial Ppartial y = partial Qpartial x . Isso significa que a integral do campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Para verificar se o campo é conservativo, a gente pode usar o seguinte critério em duas dimensões: se , então é conservativo se e somente se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:
Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 3

Aqui, partial Ppartial y = partial x^2partial y = 0 e partial Qpartial x = partial y^2partial x = 0 . Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Portanto, é um campo conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que partial fpartial x = x^2 é conservativo, precisamos encontrar uma função partial fpartial y = y^2 tal que f(x, y) = integral x^2 dx = x^33 + g(y) . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a constante de integração pode depender de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação partial fpartial y = ddy( x^33 + g(y) ) = g'(y) = y^2 para encontrar g(y) = integral y^2 dy = y^33 + C . Diferenciando em relação a :
Integrando :
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos f(x, y) = x^33 + y^33 + C na expressão de f(x, y) = x^33 + y^33 :
Podemos simplificar removendo a constante , já que a função potencial é definida até uma constante. Portanto:

Resposta

O campo vetorial f(x, y) = x^33 + y^33 é conservativo. Uma função potencial para é:

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