Obtenha os pontos de r: X=(1,1,1)+\lambda(2,0,1) que pertencem ao plano \pi em cada caso:
\pi: 3 x-y-4 z+3=0

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r e o plano \pi. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Reta r em forma paramétrica: \;X=(1,1,1)+\lambda(2,0,1)\;, isto é: x=1+2\lambda,\qquad y=1+0\lambda,\qquad z=1+\lambda.
  • Plano \pi na forma cartesiana: \;3x-y-4z+3=0\;.
  • O que se pede: obter os pontos da reta r que pertencem ao plano \pi. Em outras palavras, encontrar os valores de \lambda para os quais o ponto parâtrico da reta satisfaz a equação do plano, e então obter as coordenadas desses pontos.

Passo 2

Conceito e método (explicação didática): para testar se um ponto da reta pertence ao plano substitui-se as coordenadas paramétricas \;x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda)\; na equação do plano \;ax+by+cz+d=0\; e resolve-se para \lambda. Isso porque a equação do plano impõe uma relação entre x,y,z; ao substituir as expressões em função de \lambda obtemos uma equação em \lambda. Se existir solução, cada valor de \lambda dá um ponto de interseção.
Aqui:
x(\lambda)=1+2\lambda,\qquad y(\lambda)=1,\qquad z(\lambda)=1+\lambda.

Passo 3

Vou substituir x(\lambda),y(\lambda),z(\lambda) na equação do plano \;3x-y-4z+3=0\;.
3(1+2\lambda)-(1)-4(1+\lambda)+3=0.

Passo 4

Agora faço as contas passo a passo para simplificar a equação:
3+6\lambda-1-4-4\lambda+3=0.
Agrupando termos com \lambda e constantes:
(6\lambda-4\lambda)+(3-1-4+3)=0.
2\lambda + 1 = 0.

Passo 5

Resolver para \lambda:
2\lambda + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Com \lambda=-\tfrac{1}{2} calculo as coordenadas do ponto na reta:
x=1+2\lambda = 1+2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=1-1=0,
y=1,
z=1+\lambda = 1+ \left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.
Logo o ponto é \left(0,\,1,\,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 7

Verificação rápida (importante para a prova): substituo o ponto (0,1,\tfrac{1}{2}) na equação do plano para confirmar:
3\cdot 0 - 1 -4\cdot \tfrac{1}{2} +3 = 0 -1 -2 +3 = 0.
Confere: o ponto pertence ao plano.

Resposta

\left(0,\,1,\,\tfrac{1}{2}\right)

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