Mostre que as retas r: X=(1,2,2)+t(-1,1,1) e s: X=(-1 ; 3 ; 4)+\lambda(3,-2,-3) são concorrentes, encontrando o ponto de intersecção de ambas. A seguir, encontre uma equação geral do plano que as contém.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço, em forma paramétrica, e pede duas coisas:
Mostrar que as retas r e s são concorrentes e encontrar o ponto de interseção.
Encontrar uma equação geral do plano que contém ambas as retas.
Igualar as coordenadas para achar t e \lambda que tornam os pontos iguais (se existirem).
A partir do ponto comum e dos vetores-direção das retas, determinar um vetor normal ao plano (produto vetorial) e escrever a equação do plano.
Passo 2
Para que as retas sejam concorrentes, deve existir t e \lambda tais que as coordenadas coincidam. Escrevendo as três equações obtidas ao igualar as componentes:
\begin{cases} 1 - t = -1 + 3\lambda,\\[4pt] 2 + t = 3 - 2\lambda,\\[4pt] 2 + t = 4 - 3\lambda. \end{cases}]
Passo 3
Vou resolver esse sistema por substituição. Da primeira equação isolamos t:
1 - t = -1 + 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2 = t + 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad t = 2 - 3\lambda.
Agora achar a equação do plano que contém ambas as retas. Observação útil: duas retas que se intersectam determinam um plano. Tomamos:
ponto do plano: P=(2,1,1) (o ponto de interseção),
vetores-direção das retas: \;v_r = (-1,1,1) e \;v_s=(3,-2,-3).
Um vetor normal ao plano é o produto vetorial \;n = v_r \times v_s.
Explicando o produto vetorial (passo a passo): para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
Logo n = (-1,0,-1). Multiplicando por -1 (vetor normal pode ser escalado) obtemos o normal mais simples n=(1,0,1).]
Passo 9
A equação vetorial do plano com normal n=(1,0,1) passando por P=(2,1,1) é
n\cdot (X-P) = 0.
Escrevendo em coordenadas, para X=(x,y,z):
(1,0,1)\cdot(x-2,\;y-1,\;z-1)=0.
Isto dá
(x-2)+(z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+z-3=0.
Passo 10
Verificações rápidas (boa prática na prova):
Direções v_r e v_s são ortogonais ao normal? (1,0,1)\cdot(-1,1,1)= -1+0+1=0 e (1,0,1)\cdot(3,-2,-3)=3+0-3=0. Sim, ambas são ortogonais a n, logo pertencem ao plano.
O ponto P=(2,1,1) satisfaz a equação? 2+1-3=0. Sim.
Concluímos que a equação do plano contendo as duas retas é \;x+z-3=0.