Mostre que as retas r: X=(1,2,2)+t(-1,1,1) e s: X=(-1 ; 3 ; 4)+\lambda(3,-2,-3) são concorrentes, encontrando o ponto de intersecção de ambas. A seguir, encontre uma equação geral do plano que as contém.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço, em forma paramétrica, e pede duas coisas:
  • Mostrar que as retas r e s são concorrentes e encontrar o ponto de interseção.
  • Encontrar uma equação geral do plano que contém ambas as retas.
Dados fornecidos:
  • Reta r: \;X=(1,2,2)+t(-1,1,1),\; t\in\mathbb{R}.
  • Reta s: \;X=(-1,3,4)+\lambda(3,-2,-3),\; \lambda\in\mathbb{R}.
O que será feito nos próximos passos:
  • Igualar as coordenadas para achar t e \lambda que tornam os pontos iguais (se existirem).
  • A partir do ponto comum e dos vetores-direção das retas, determinar um vetor normal ao plano (produto vetorial) e escrever a equação do plano.

Passo 2

Para que as retas sejam concorrentes, deve existir t e \lambda tais que as coordenadas coincidam. Escrevendo as três equações obtidas ao igualar as componentes:
\begin{cases} 1 - t = -1 + 3\lambda,\\[4pt] 2 + t = 3 - 2\lambda,\\[4pt] 2 + t = 4 - 3\lambda. \end{cases}]

Passo 3

Vou resolver esse sistema por substituição. Da primeira equação isolamos t:
1 - t = -1 + 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad 2 = t + 3\lambda \quad\Longrightarrow\quad t = 2 - 3\lambda.

Passo 4

Substituo t=2-3\lambda na segunda equação:
2 + t = 3 - 2\lambda \quad\Rightarrow\quad 2 + (2-3\lambda) = 3 - 2\lambda.
Simplificando:
4 - 3\lambda = 3 - 2\lambda \quad\Rightarrow\quad 4-3 = 3\lambda-2\lambda \quad\Rightarrow\quad 1 = \lambda.

Passo 5

Com \lambda=1 volto para t:
t = 2 - 3\lambda = 2 - 3\cdot 1 = -1.
Agora verifico a terceira equação para garantir consistência:
2 + t = 2 + (-1) = 1,\qquad 4 - 3\lambda = 4 - 3\cdot 1 = 1,
logo a terceira equação também é satisfeita. Portanto existem t e \lambda que tornam os pontos iguais — as retas são concorrentes.

Passo 6

Encontro o ponto de interseção substituindo t=-1 (ou \lambda=1) em uma das parametrizações. Usando r:
X=(1,2,2)+(-1)(-1,1,1) = (1,2,2)+(1,-1,-1) = (2,1,1).
Portanto o ponto de interseção é (2,1,1).

Passo 7

Agora achar a equação do plano que contém ambas as retas. Observação útil: duas retas que se intersectam determinam um plano. Tomamos:
  • ponto do plano: P=(2,1,1) (o ponto de interseção),
  • vetores-direção das retas: \;v_r = (-1,1,1) e \;v_s=(3,-2,-3).
Um vetor normal ao plano é o produto vetorial \;n = v_r \times v_s.
Explicando o produto vetorial (passo a passo): para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).

Passo 8

Calculo n = (-1,1,1)\times(3,-2,-3) usando a fórmula:
\begin{aligned} n_1 &= 1\cdot(-3) - 1\cdot(-2) = -3 -(-2) = -1,\\[4pt] n_2 &= 1\cdot 3 - (-1)\cdot(-3) = 3 - 3 = 0,\\[4pt] n_3 &= (-1)\cdot(-2) - 1\cdot 3 = 2 - 3 = -1. \end{aligned}
Logo n = (-1,0,-1). Multiplicando por -1 (vetor normal pode ser escalado) obtemos o normal mais simples n=(1,0,1).]

Passo 9

A equação vetorial do plano com normal n=(1,0,1) passando por P=(2,1,1) é
n\cdot (X-P) = 0.
Escrevendo em coordenadas, para X=(x,y,z):
(1,0,1)\cdot(x-2,\;y-1,\;z-1)=0.
Isto dá
(x-2)+(z-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x+z-3=0.

Passo 10

Verificações rápidas (boa prática na prova):
  • Direções v_r e v_s são ortogonais ao normal? (1,0,1)\cdot(-1,1,1)= -1+0+1=0 e (1,0,1)\cdot(3,-2,-3)=3+0-3=0. Sim, ambas são ortogonais a n, logo pertencem ao plano.
  • O ponto P=(2,1,1) satisfaz a equação? 2+1-3=0. Sim.
Concluímos que a equação do plano contendo as duas retas é \;x+z-3=0.

Resposta

Ponto de interseção: (2,1,1)
Equação geral do plano: x+z-3=0

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