Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem e forma ângulos de 60^{\circ} com a reta r:(x, y, z)=(1,1,1)+t(0,1,-1) e com o plano \pi: x-y=0.

Passo 1

O enunciado pede um plano P que passe pela origem e forme \,60^\circ tanto com a reta
r:\;(x,y,z)=(1,1,1)+t\,(0,1,-1)
quanto com o plano
\pi:\;x-y=0.
Como P passa pela origem, sua equação geral pode ser escrita como
a\,x + b\,y + c\,z \;=\; 0,
onde \,(a,b,c)\neq (0,0,0) é um vetor normal a P. Vamos usar dois fatos de Geometria Analítica:
  1. O ângulo \beta entre uma reta de direção \mathbf{d} e um plano de normal \mathbf{n} satisfaz \sin\beta \;=\;\frac{\bigl|\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|\;\|\mathbf{d}\|}.
  2. O ângulo \alpha entre dois planos de normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 satisfaz \cos\alpha \;=\;\frac{\bigl|\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}.

Passo 2

No nosso caso, \mathbf{n}=(a,b,c) e a direção da reta r é \mathbf{d}=(0,1,-1). Queremos que o ângulo entre reta e plano seja 60^\circ, isto é \beta=60^\circ. Então
\sin60^\circ \;=\;\frac{\bigl|\,\mathbf{n}\cdot\mathbf{d}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|\;\|\mathbf{d}\|} \;\Longrightarrow\; \frac{\sqrt3}{2} \;=\; \frac{\bigl|\,b - c\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\;\sqrt{2}}
e daí obtemos
\bigl|\,b - c\bigr| \;=\; \frac{\sqrt3}{2}\,\sqrt2\;\sqrt{a^2+b^2+c^2} \;=\; \frac{\sqrt6}{2}\;\|\,(a,b,c)\|\,. \tag{1}

Passo 3

Para o ângulo entre P e \pi ser 60^\circ, usamos a normal de \pi, que é \mathbf{n}_\pi=(1,-1,0). Daí
\cos60^\circ \;=\; \frac{\bigl|\,\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_\pi\bigr|}{\|\mathbf{n}\|\;\|\mathbf{n}_\pi\|} \;\Longrightarrow\; \frac12 \;=\; \frac{\bigl|\,a - b\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\;\sqrt2}
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\bigl|\,a - b\bigr| \;=\; \frac12\,\sqrt2\;\|\,(a,b,c)\| \;=\; \frac{\sqrt2}{2}\;\|\,(a,b,c)\|. \tag{2}

Passo 4

Das igualdades (1) e (2) podemos eliminar o fator \|\,(a,b,c)\|\neq 0 dividindo membro a membro:
\frac{\bigl|\,b - c\bigr|}{\bigl|\,a - b\bigr|} \;=\; \frac{\tfrac{\sqrt6}{2}}{\tfrac{\sqrt2}{2}} \;=\; \sqrt3 \;\Longrightarrow\; \bigl|\,b - c\bigr| \;=\; \sqrt3\;\bigl|\,a - b\bigr|.
Como um vetor normal pode mudar de sinal sem alterar o plano, basta impor
b - c \;=\;\pm\,\sqrt3\,\bigl(a - b\bigr). \tag{3}

Passo 5

A relação (3) dá duas famílias de planos. Vamos escrever ambas de modo paramétrico:
Caso +:
b - c = +\sqrt3\,(a - b) \;\Longrightarrow\; c = b - \sqrt3\,(a - b).
Escolhendo a=1 e definindo \,\lambda = b\in\mathbb{R}, obtemos
c = \lambda - \sqrt3\,(1-\lambda) \;=\; \lambda - \sqrt3 +\sqrt3\,\lambda \;=\; (\,1+\sqrt3\,)\,\lambda \;-\;\sqrt3.
Logo a equação geral é
\boxed{ x \;+\;\lambda\,y \;+\;\bigl(\lambda - \sqrt3\,(1-\lambda)\bigr)\,z \;=\;0, \quad \lambda\in\mathbb{R}. }
Caso -:
b - c = -\sqrt3\,(a - b) \;\Longrightarrow\; c = b + \sqrt3\,(a - b).
Analogamente, tomando a=1 e b=\lambda, dá
c = \lambda + \sqrt3\,(1-\lambda) \;=\; (\,1-\sqrt3\,)\,\lambda \;+\;\sqrt3,
e a equação geral é
\boxed{ x \;+\;\lambda\,y \;+\;\bigl(\lambda + \sqrt3\,(1-\lambda)\bigr)\,z \;=\;0, \quad \lambda\in\mathbb{R}. }

Resposta

As equações gerais dos planos procurados, passando pela origem e fazendo 60^\circ com r e com \pi, são as duas famílias parametrizadas por \lambda\in\mathbb{R}:
\text{(i) }x + \lambda y +\bigl(\lambda - \sqrt3(1-\lambda)\bigr)z =0, \quad \text{(ii) }x + \lambda y +\bigl(\lambda + \sqrt3(1-\lambda)\bigr)z =0.

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