Obtenha uma equação geral do plano que contém a origem e forma ângulos de 60^{\circ} com a reta r:(x, y, z)=(1,1,1)+t(0,1,-1) e com o plano \pi: x-y=0.
Passo 1
O enunciado pede um plano P que passe pela origem e forme \,60^\circ tanto com a reta
r:\;(x,y,z)=(1,1,1)+t\,(0,1,-1)
quanto com o plano
\pi:\;x-y=0.
Como P passa pela origem, sua equação geral pode ser escrita como
a\,x + b\,y + c\,z \;=\; 0,
onde \,(a,b,c)\neq (0,0,0) é um vetor normal a P. Vamos usar dois fatos de Geometria Analítica:
O ângulo \beta entre uma reta de direção \mathbf{d} e um plano de normal \mathbf{n} satisfaz\sin\beta \;=\;\frac{\bigl|\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}\bigr|}{\|\mathbf{n}\|\;\|\mathbf{d}\|}.
O ângulo \alpha entre dois planos de normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 satisfaz\cos\alpha \;=\;\frac{\bigl|\mathbf{n}_1\cdot \mathbf{n}_2\bigr|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}.
Passo 2
No nosso caso, \mathbf{n}=(a,b,c) e a direção da reta r é \mathbf{d}=(0,1,-1). Queremos que o ângulo entre reta e plano seja 60^\circ, isto é \beta=60^\circ. Então
\boxed{ x \;+\;\lambda\,y \;+\;\bigl(\lambda - \sqrt3\,(1-\lambda)\bigr)\,z \;=\;0, \quad \lambda\in\mathbb{R}. }
Caso -:
b - c = -\sqrt3\,(a - b) \;\Longrightarrow\; c = b + \sqrt3\,(a - b).
Analogamente, tomando a=1 e b=\lambda, dá
c = \lambda + \sqrt3\,(1-\lambda) \;=\; (\,1-\sqrt3\,)\,\lambda \;+\;\sqrt3,
e a equação geral é
\boxed{ x \;+\;\lambda\,y \;+\;\bigl(\lambda + \sqrt3\,(1-\lambda)\bigr)\,z \;=\;0, \quad \lambda\in\mathbb{R}. }
Resposta
As equações gerais dos planos procurados, passando pela origem e fazendo 60^\circ com r e com \pi, são as duas famílias parametrizadas por \lambda\in\mathbb{R}:
\text{(i) }x + \lambda y +\bigl(\lambda - \sqrt3(1-\lambda)\bigr)z =0, \quad \text{(ii) }x + \lambda y +\bigl(\lambda + \sqrt3(1-\lambda)\bigr)z =0.