Obtenha os 4 primeiros termos das séries. Diga se as séries convergem ou divergem. Calcule a soma das séries que convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{7^{n-2}}

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{7^{\,n-2}},
verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular a soma. O conteúdo aqui é série geométrica, cujo termo geral é da forma a\,r^{\,n-1} e converge se \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos, basta substituir n=1,2,3,4 em
t_{n}=\frac{3}{7^{\,n-2}}.
n =1:
t_{1}=\frac{3}{7^{-1}}=3\cdot7=21.
n =2:
t_{2}=\frac{3}{7^{0}}=3.
n =3:
t_{3}=\frac{3}{7^{1}}=\frac{3}{7}.
n =4:
t_{4}=\frac{3}{7^{2}}=\frac{3}{49}.

Passo 3

Reconhecemos uma série geométrica com primeiro termo
a=t_{1}=21
e razão
r=\frac{t_{2}}{t_{1}}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}.
Como \lvert r\rvert=\tfrac{1}{7}<1, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica convergente é
\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
Aqui a=21 e r=\tfrac{1}{7}, logo
S=\frac{21}{1-\tfrac{1}{7}} =\frac{21}{\tfrac{6}{7}} =21\cdot\frac{7}{6} =\frac{147}{6} =\frac{49}{2}.

Resposta

  • Os quatro primeiros termos são 21,\;3,\;\tfrac{3}{7},\;\tfrac{3}{49}.
  • A série converge, pois é geométrica com razão \tfrac{1}{7}.
  • A soma da série é \tfrac{49}{2}.

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