Obtenha os 4 primeiros termos das séries. Diga se as séries convergem ou divergem. Calcule a soma das séries que convergem.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros termos da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr),
decidir se ela converge ou diverge e, caso convergisse, calcular sua soma. Vamos usar propriedades de logaritmo e o efeito telescópico na soma parcial.

Passo 2

Os quatro primeiros termos da série são, para n=1,2,3,4:
\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr),\\ \ln\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr),\\ \ln\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr),\\ \ln\!\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr).

Passo 3

Reescrevemos o termo geral usando a propriedade do logaritmo:
\ln\!\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr) =\ln(n)-\ln(n+1).

Passo 4

A soma parcial até N vale
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\bigl[\ln(n)-\ln(n+1)\bigr] =(\ln1-\ln2)+(\ln2-\ln3)+\cdots+(\ln N-\ln(N+1))
e, pelo cancelamento telescópico,
S_{N}=\ln1-\ln(N+1)=-\ln(N+1).

Passo 5

Tomando o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N}=\lim_{N\to\infty}\bigl[-\ln(N+1)\bigr]=- \infty,
logo a série diverge (não converge a um valor finito).

Resposta

4 primeiros termos: \ln\bigl(\tfrac12\bigr), \ln\bigl(\tfrac23\bigr), \ln\bigl(\tfrac34\bigr), \ln\bigl(\tfrac45\bigr). A série diverge (para -\infty) e não possui soma finita.

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