Usando o fato de que n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 e \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \rightarrow e calcule:
\lim \left(\frac{n+5}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+5}{n+1}\Bigr)^{n}
O conteúdo envolvido é o limite clássico do tipo \bigl(1+\tfrac{a}{n}\bigr)^{n}\to e^{a}. Vamos reescrever a base num formato adequado.

Passo 2

Note que
\frac{n+5}{n+1} =\frac{(n+1)+4}{n+1} =1+\frac{4}{n+1}.
Então o limite vira
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{4}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Para usar \bigl(1+\tfrac{1}{m}\bigr)^{m}\to e, observamos que
\Bigl(1+\tfrac{4}{n+1}\Bigr)^{n} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{4}{n+1}\bigr)^{\,n+1}\Bigr]^{\!n/(n+1)}.
Quando n\to\infty, temos \bigl(1+\tfrac{4}{n+1}\bigr)^{\,n+1}\to e^{4} e \tfrac{n}{n+1}\to1.

Passo 4

Combinando essas convergências,
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\tfrac{4}{n+1}\Bigr)^{n} =(e^{4})^{1} =e^{4}.

Resposta

e^{4}

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