Obtenha os primeiros termos das séries de Taylor/Laurent das funções abaixo (em torno da origem):
\operatorname{cosec} z=\frac{1}{z}+\frac{1}{3!} z+\left(\frac{1}{5!}-\frac{1}{(3!)^{2}}\right) z^{3}+\ldots, 0<|z|<\pi

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de \csc z em torno de z=0, válida para 0<|z|<\pi. Vamos usar a expansão em série de Taylor de \sin z e em seguida inverter essa série com uma expansão de tipo geométrico para obter \csc z=1/\sin z.

Passo 2

Escrevemos primeiro a expansão de \sin z:
\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots.
Colocando em evidência z, fica
\sin z = z\Bigl(1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} - \cdots\Bigr).

Passo 3

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\csc z = \frac{1}{\sin z} = \frac{1}{z}\;\frac{1}{1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} - \cdots}.
Definimos
u = \frac{z^2}{6} - \frac{z^4}{120} + \cdots
de modo que queremos expandir
\frac{1}{1 - u}
até termos de ordem z^4.

Passo 4

Usamos a série geométrica
\frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots,
então, até O(z^6):
1 + u + u^2 = 1 + \Bigl(\frac{z^2}{6} - \frac{z^4}{120}\Bigr) + \Bigl(\frac{z^2}{6}\Bigr)^{2} + O(z^6).
Calculamos
u^2 = \frac{z^4}{36},
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1 + u + u^2 = 1 + \frac{z^2}{6} + \Bigl(\frac{1}{36} - \frac{1}{120}\Bigr)z^4 + O(z^6) = 1 + \frac{z^2}{6} + \frac{7}{360}\,z^4 + O(z^6).
Multiplicando por 1/z, obtemos os termos até z^3:
\csc z = \frac{1}{z}\Bigl(1 + \frac{z^2}{6} + \frac{7}{360}\,z^4 + \cdots\Bigr) = \frac{1}{z} + \frac{z}{6} + \frac{7}{360}\,z^3 + O(z^5).

Resposta

\csc z = \frac{1}{z} \;+\;\frac{z}{6}\;+\;\frac{7}{360}\,z^{3} \;+\;\cdots,\quad 0<|z|<\pi.

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