Obtenha os primeiros termos das séries de Taylor/Laurent das funções abaixo (em torno da origem):
\frac{1}{e^{z}-1}=\frac{1}{z}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12} z-\frac{1}{720} z^{3}+\ldots, 0<|z|<2 \pi

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
\frac{1}{e^{z}-1}
em torno de z=0. O conteúdo principal é usar a expansão em série de potências de e^{z}-1 e depois inverter essa série para obter os coeficientes da série de Laurent de \bigl(e^{z}-1\bigr)^{-1}.

Passo 2

Primeiro expandimos e^{z}-1 em série de Taylor em torno de z=0:
e^{z}-1 = z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6} + \frac{z^{4}}{24} + \frac{z^{5}}{120} + \frac{z^{6}}{720} + \cdots.

Passo 3

Suponhamos que
\frac{1}{e^{z}-1} = \frac{a_{-1}}{z} + a_{0} + a_{1}\,z + a_{2}\,z^{2} + a_{3}\,z^{3} + \cdots.
Multiplicando essa série por e^{z}-1 deve resultar em 1:
\Bigl(\tfrac{a_{-1}}{z} + a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + a_{3}z^{3} + \cdots\Bigr) \Bigl(z + \tfrac{z^{2}}{2} + \tfrac{z^{3}}{6} + \tfrac{z^{4}}{24} + \cdots\Bigr) =1.

Passo 4

Multiplicando e recolhendo termos por potência de z, obtemos:
constante:
a_{-1}=1.
coeficiente de z^{1}:
\tfrac{a_{-1}}{2}+a_{0}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{2}+a_{0}=0 \;\Longrightarrow\; a_{0}=-\tfrac12.
coeficiente de z^{2}:
\tfrac{a_{-1}}{6}+\tfrac{a_{0}}{2}+a_{1}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{4}+a_{1}=0 \;\Longrightarrow\; a_{1}=\tfrac{1}{12}.
coeficiente de z^{3}:
\tfrac{a_{-1}}{24}+\tfrac{a_{0}}{6}+\tfrac{a_{1}}{2}+a_{2}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{24}-\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{24}+a_{2}=0 \;\Longrightarrow\; a_{2}=0.
coeficiente de z^{4}:
\tfrac{a_{-1}}{120}+\tfrac{a_{0}}{24}+\tfrac{a_{1}}{6}+\tfrac{a_{2}}{2}+a_{3}=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{120}-\tfrac{1}{48}+\tfrac{1}{72}+a_{3}=0 \;\Longrightarrow\; a_{3}=-\tfrac{1}{720}.

Passo 5

Recolhendo os coeficientes encontrados, a série de Laurent fica
\frac{1}{e^{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12}\,z + 0\cdot z^{2} - \frac{1}{720}\,z^{3} + \cdots,
válida para 0<|z|<2\pi.

Resposta

\frac{1}{e^{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12}\,z - \frac{1}{720}\,z^{3} + \ldots, \quad 0<|z|<2\pi.

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