Obtenha a raiz quadrada do número 7 , usando o método de Newton com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se encontrar a raiz quadrada de \,7, ou seja um número x tal que \,x^{2}=7.
  • Deve-se usar o método de Newton (iterações) com as precisões \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0,0001.
  • Não foi dado palpite inicial; será escolhido um chute razoável para iniciar o método.

Passo 2

Entendendo o método de Newton (explicação didática, passo a passo).
  • Ideia: para achar raiz de uma função f(x) queremos f(x)=0. O método de Newton gera uma sequência \{x_{n}\} dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  • Interpretação rápida: em x_{n} aproximamos f por sua reta tangente e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação.
  • O que significa cada símbolo:
    • x_{n} é a aproximação atual da raiz (no passo n);
    • f(x_{n}) é o valor da função nessa aproximação;
    • f'(x_{n}) é a derivada de f em x_{n};
    • x_{n+1} é o próximo chute, geralmente melhor que x_{n}.

Passo 3

Aplicando o método ao problema \sqrt{7}.
  • Para obter \sqrt{7} podemos resolver f(x)=x^{2}-7=0.
  • Derivada: f'(x)=2x.
  • Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-7}{2x_{n}}=\frac{x_{n}+\dfrac{7}{x_{n}}}{2}.
  • Observação: esta fórmula é a conhecida iteração de Heron para raízes quadradas; é fácil de computar porque só usa soma, divisão e média.

Passo 4

Critérios de parada (interpretando \epsilon_{1} e \epsilon_{2}).
  • Vamos interpretar \epsilon_{1} como tolerância na diferença entre iterações: parar quando \,|x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon_{1}.
  • Vamos interpretar \epsilon_{2} como tolerância no resíduo da equação: parar quando \,|f(x_{n+1})|=|x_{n+1}^{2}-7|<\epsilon_{2}.
  • Exigiremos que ambos os critérios sejam satisfeitos simultaneamente para garantir boa aproximação.

Passo 5

Escolha do chute inicial e primeira iteração.
  • Escolha razoável: \,x_{0}=3 (porque \,2^{2}=4 e \,3^{2}=9, então \sqrt{7} está entre 2 e 3).
  • Aplica-se a fórmula:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{7}{x_{0}}}{2}=\frac{3+\dfrac{7}{3}}{2}=\frac{3+\tfrac{7}{3}}{2}=\frac{\tfrac{9}{3}+\tfrac{7}{3}}{2}=\frac{\tfrac{16}{3}}{2}=\frac{8}{3}\approx2,6666666667.
  • Verificações:
    • Diferença: |x_{1}-x_{0}|=\left|\tfrac{8}{3}-3\right|=\tfrac{1}{3}\approx0,3333333, que é maior que \epsilon_{1}=0,0001.
    • Resíduo: f(x_{1})=x_{1}^{2}-7=\left(\tfrac{8}{3}\right)^{2}-7=\tfrac{64}{9}-7=\tfrac{64-63}{9}=\tfrac{1}{9}\approx0,1111111, que é maior que \epsilon_{2}=0,0001.
  • Logo, continuar.

Passo 6

Segunda iteração (cálculos exatos e aproximações).
  • Calcule x_{2}:
x_{2}=\frac{x_{1}+\dfrac{7}{x_{1}}}{2}=\frac{\tfrac{8}{3}+\dfrac{7}{\tfrac{8}{3}}}{2}=\frac{\tfrac{8}{3}+\tfrac{21}{8}}{2}.
  • Fazer a soma com denominador comum 24:
\tfrac{8}{3}=\tfrac{64}{24},\qquad \tfrac{21}{8}=\tfrac{63}{24},
logo
x_{2}=\frac{\tfrac{64+63}{24}}{2}=\frac{\tfrac{127}{24}}{2}=\frac{127}{48}\approx2,6458333333.
  • Verificações:
    • Diferença: |x_{2}-x_{1}|=\left|\tfrac{127}{48}-\tfrac{8}{3}\right|=\left|\tfrac{127}{48}-\tfrac{128}{48}\right|=\tfrac{1}{48}\approx0,0208333333, ainda maior que \epsilon_{1}.
    • Resíduo: calcular f(x_{2}) exatamente:
f(x_{2})=x_{2}^{2}-7=\left(\tfrac{127}{48}\right)^{2}-7=\frac{16129}{2304}-7=\frac{16129-16128}{2304}=\frac{1}{2304}\approx0,0004340278,
que ainda é maior que \epsilon_{2}=0,0001.
  • Ainda não satisfaz os dois critérios, continuar.

Passo 7

Terceira iteração (cálculo exato e checagem final).
  • Calcule x_{3} usando x_{2}=\tfrac{127}{48}:
x_{3}=\frac{\tfrac{127}{48}+\dfrac{7}{\tfrac{127}{48}}}{2}=\frac{\tfrac{127}{48}+\tfrac{336}{127}}{2}.
  • Colocando em denominador comum 12192 (observação: 12192=48\cdot127):
\tfrac{127}{48}=\tfrac{127\cdot254}{12192}=\tfrac{32258}{12192},\qquad \tfrac{336}{127}=\tfrac{336\cdot96}{12192}=\tfrac{32257}{12192},
assim
x_{3}=\frac{\tfrac{32258+32257}{12192}}{2}=\frac{\tfrac{64515}{12192}}{2}=\frac{32257}{12192}\approx2,645751312335.
  • Diferença entre iterações (exata):
|x_{3}-x_{2}|=\left|\frac{32257}{12192}-\frac{127}{48}\right| =\left|\frac{32257}{12192}-\frac{32258}{12192}\right|=\frac{1}{12192}\approx0,0000820209.
Isto é menor que \epsilon_{1}=0,0001.
  • Resíduo (exato):
f(x_{3})=x_{3}^{2}-7=\left(\frac{32257}{12192}\right)^{2}-7 =\frac{32257^{2}-7\cdot12192^{2}}{12192^{2}}.
Cálculo dos termos (já efetuado):
32257^{2}=1\,040\,514\,049,\qquad 7\cdot12192^{2}=1\,040\,514\,048,
logo
f(x_{3})=\frac{1}{12192^{2}}=\frac{1}{148\,644\,864}\approx0,000000006724,
que é muito menor que \epsilon_{2}=0,0001.
  • Como ambas as condições ( |x_{3}-x_{2}|<\epsilon_{1} e |f(x_{3})|<\epsilon_{2}) são satisfeitas, podemos parar aqui.

Passo 8

Conclusão prática e apresentação do resultado (o que entregar na prova).
  • A iteração convergiu em três passos (de x_{0} a x_{3}).
  • A aproximação obtida é exatamente x_{3}=\dfrac{32257}{12192} e aproximadamente 2,645751312335.
  • Se é necessário apresentar com os dígitos coerentes com \epsilon=0,0001 (quatro casas decimais), uma forma arredondada adequada é 2,6458. Se preferir maior precisão, use 2,6457513123.

Resposta

\sqrt{7}\approx2,645751312335

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