(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)): \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3}{5 n}
Passo 1
O enunciado pede para dizer se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}
converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma (o enunciado diz para calcular a soma — exceto em itens onde não pede; aqui pede). Informações dadas:
O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n-1}.
Nada mais é fornecido; vamos trabalhar com essas informações.
Passo 2
Fatoro a constante fora da soma para simplificar a análise:
Explicando: se uma série tem um fator constante c em todos os termos, então \sum c\,u_n = c\sum u_n. Aqui c=\dfrac{3}{5} e u_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}.
Passo 3
Vou mostrar que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} converge usando o Critério de Leibniz (teste da série alternada). O teste diz:
Seja \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge 0. Se (i) b_n é monotonicamente decrescente e (ii) \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série converge.
Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n}.
Verificações:
Monotonicidade: b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=b_n para todo n\ge1. Logo b_n é decrescente.
Limite: \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas e a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} converge.
Passo 4
Da propriedade linear da soma, como \dfrac{3}{5} é constante,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}
converge também. Observação importante sobre tipo de convergência: verificar se é absolutamente convergente.
Passo 5
Testo convergência absoluta: considerar \sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{(-1)^{n-1}3}{5n}\right|=\dfrac{3}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (por comparação com a integral \int_1^\infty \frac{1}{x}dx ou pelo teste da comparação em blocos). Assim \dfrac{3}{5}\sum \frac{1}{n} diverge. Conclusão: a série original converge, mas não converge absolutamente — ela converge condicionalmente.
Passo 6
Agora calculo a soma da série conhecida \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}. Uma forma clássica de obter essa soma é usar a série de Taylor (série de Mercator) para o logaritmo natural:
para |x|\le 1 com x\neq -1 vale