(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 3}{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para dizer se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}
converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma (o enunciado diz para calcular a soma — exceto em itens onde não pede; aqui pede). Informações dadas:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n-1}.
    Nada mais é fornecido; vamos trabalhar com essas informações.

Passo 2

Fatoro a constante fora da soma para simplificar a análise:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}=\frac{3}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Explicando: se uma série tem um fator constante c em todos os termos, então \sum c\,u_n = c\sum u_n. Aqui c=\dfrac{3}{5} e u_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}.

Passo 3

Vou mostrar que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} converge usando o Critério de Leibniz (teste da série alternada). O teste diz:
  • Seja \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} b_n com b_n\ge 0. Se (i) b_n é monotonicamente decrescente e (ii) \lim_{n\to\infty}b_n=0, então a série converge.
    Aqui escolho b_n=\dfrac{1}{n}.
    Verificações:
  1. Monotonicidade: b_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}=b_n para todo n\ge1. Logo b_n é decrescente.
  2. Limite: \displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
    Portanto as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas e a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n} converge.

Passo 4

Da propriedade linear da soma, como \dfrac{3}{5} é constante,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}3}{5n}
converge também. Observação importante sobre tipo de convergência: verificar se é absolutamente convergente.

Passo 5

Testo convergência absoluta: considerar \sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{(-1)^{n-1}3}{5n}\right|=\dfrac{3}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (por comparação com a integral \int_1^\infty \frac{1}{x}dx ou pelo teste da comparação em blocos). Assim \dfrac{3}{5}\sum \frac{1}{n} diverge. Conclusão: a série original converge, mas não converge absolutamente — ela converge condicionalmente.

Passo 6

Agora calculo a soma da série conhecida \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}. Uma forma clássica de obter essa soma é usar a série de Taylor (série de Mercator) para o logaritmo natural:
para |x|\le 1 com x\neq -1 vale
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}.
Explicando: essa é a expansão da função \ln(1+x) centrada em x=0. Para x=1 (um dos extremos permitidos), a série fica
\ln(1+1)=\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Portanto \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2.

Passo 7

Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{5} que tiramos fora no Passo 2, a soma da série original é
\frac{3}{5}\ln 2.
Já estabelecemos também que a convergência é condicional (não absoluta).

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}\ln 2

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