(2,0 pts) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}:
determinar o raio de convergência;
determinar o intervalo de convergência (isto é, quais valores de x fazem a série convergir).
Informações dadas:
A série é uma série de potências em torno do ponto onde aparece (x+1); portanto o centro é x=-1.
Os termos gerais são u_n=\dfrac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.
Não se resolve nada neste passo — só listar o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Usar o Teste da Razão para séries de potências (método escolhido porque é direto aqui). Vou aplicar o teste da razão ao termo geral u_n=\dfrac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.
Para que uma série \sum u_n converge é necessário (condição necessária) que u_n\to0 quando n\to\infty. Aqui |u_n|=n/3\to\infty, portanto u_n não tende a zero e a série diverge imediatamente. Conclusão: x=-4 não pertence ao conjunto de convergência.