(2,0 pts) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}:
  • determinar o raio de convergência;
  • determinar o intervalo de convergência (isto é, quais valores de x fazem a série convergir).
Informações dadas:
  • A série é uma série de potências em torno do ponto onde aparece (x+1); portanto o centro é x=-1.
  • Os termos gerais são u_n=\dfrac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.
    Não se resolve nada neste passo — só listar o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Usar o Teste da Razão para séries de potências (método escolhido porque é direto aqui). Vou aplicar o teste da razão ao termo geral u_n=\dfrac{n(x+1)^{n}}{3^{n+1}}.
Primeiro escrevo u_{n+1} e a razão:
u_{n+1}=\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{3^{n+2}}.
Agora a razão em módulo:
\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \left|\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{3^{n+2}} \cdot \frac{3^{n+1}}{n(x+1)^{n}}\right| = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{|x+1|}{3}.
Explico: canceleio 3^{n+1} e (x+1)^n, sobrando um factor 1/3 e (n+1)/n.
Agora tomo o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{n+1}{n}\to1, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{|x+1|}{3}.
O Teste da Razão diz que a série converge se L<1. Logo a condição de convergência é
\frac{|x+1|}{3}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|<3.

Passo 3

Interpretação do resultado do Passo 2:
  • A desigualdade |x+1|<3 descreve um intervalo aberto em torno de x=-1 cujo raio é 3. Portanto o raio de convergência é
R=3.
  • O intervalo central (intervalo absoluto de convergência antes de testar extremos) é
-1-3 < x < -1+3 \quad\Longleftrightarrow\quad -4<x<2.
Ainda falta testar os pontos finais x=-4 e x=2 para ver se eles entram ou não.

Passo 4

Testar o extremo x=-4.
Substituo x=-4 em u_n:
u_n\Big|_{x=-4}=\frac{n(-3)^{n}}{3^{n+1}}.
Simplifico o fator de potências de 3:
\frac{(-3)^{n}}{3^{n+1}}=\frac{(-1)^{n}3^{n}}{3^{n+1}}=\frac{(-1)^{n}}{3}.
Logo
u_n\Big|_{x=-4}=\frac{n(-1)^{n}}{3}.
Para que uma série \sum u_n converge é necessário (condição necessária) que u_n\to0 quando n\to\infty. Aqui |u_n|=n/3\to\infty, portanto u_n não tende a zero e a série diverge imediatamente. Conclusão: x=-4 não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 5

Testar o extremo x=2.
Substituo x=2 em u_n:
u_n\Big|_{x=2}=\frac{n(3)^{n}}{3^{n+1}}=\frac{n}{3}.
Novamente |u_n|=n/3\to\infty, então u_n\not\to0 e a série diverge. Conclusão: x=2 também não pertence ao conjunto de convergência.

Passo 6

Juntando tudo:
  • O raio de convergência é R=3.
  • A série converge para todos x tais que |x+1|<3, ou seja no intervalo aberto (-4,2).
  • Nos pontos finais x=-4 e x=2 a série diverge (porque os termos gerais não tendem a zero).

Resposta

Raio de convergência: R=3
Intervalo de convergência: (-4,2)

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