Obtenha uma representação da forma
ou
, encontrando as curvas paramétricas (curvas
das superfícies e vetores
normais a elas.
Cone
Cone
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização de um cone por
Precisamos obter uma representação implícita do tipo g(x,y) ou g(x,y,z), encontrar as curvas na superfície correspondentes a u=cte e v=cte, e calcular o vetor normal
. Para isso vamos usar eliminação de parâmetros, curvas paramétricas e produto vetorial.
Passo 2
Da parametrização temos
Podemos isolar
de duas maneiras. Por exemplo, de
vem
. Substituindo em
:
Assim uma representação do cone é
Passo 3
Para as curvas
, fixe
. Variando
obtemos círculos horizontais de raio
:
Passo 4
Para as curvas
, fixe
. Variando
obtemos geratrizes (linhas retas) passando pela origem:
Passo 5
Agora calculamos as derivadas parciais.
O vetor normal é o produto vetorial
Resposta
Representação do cone:
z = \frac{c}{a}\sqrt{x^2 + y^2}
z = \frac{c}{a}\sqrt{x^2 + y^2}
Curvas na superfície:
- u = u_0:
- v = v_0:
Vetor normal:
.