Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Cone r(u, v)=[a u cos v, a u sen v, c u]

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de um cone por
vec r(u,v) = (a u cos v,;a u sin v,;c u)
Precisamos obter uma representação implícita do tipo g(x,y) ou g(x,y,z), encontrar as curvas na superfície correspondentes a u=cte e v=cte, e calcular o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv. Para isso vamos usar eliminação de parâmetros, curvas paramétricas e produto vetorial.

Passo 2

Da parametrização temos
x = a u cos v, y = a u sin v, z = c u
Podemos isolar u de duas maneiras. Por exemplo, de z=c u vem u=z/c. Substituindo em x,y:
raizx^2+y^2 = a,u = azc ; Longrightarrow; z = caraizx^2+y^2
Assim uma representação do cone é
z = caraizx^2 + y^2

Passo 3

Para as curvas u=cte, fixe u=u0. Variando v obtemos círculos horizontais de raio a u0:
vec r(u0,v) = (a u0 cos v,;a u0 sin v,;c u0), vin[0,2pi]

Passo 4

Para as curvas v=cte, fixe v=v0. Variando u obtemos geratrizes (linhas retas) passando pela origem:
vec r(u,v0) = (a u cos v0,;a u sin v0,;c u), u>=0

Passo 5

Agora calculamos as derivadas parciais.
vec ru = (acos v,;asin v,;c), vec rv = (-a usin v,;a ucos v,;0)
O vetor normal é o produto vetorial
vec N = vec ru times vec rv = (-c a u cos v,;-c a u sin v,;a^2 u)

Resposta

Representação do cone:
z = \frac{c}{a}\sqrt{x^2 + y^2}
Curvas na superfície:
  • u = u_0: vec r(u0,v) = (a u0 cos v, a u0 sin v, c u0)
  • v = v_0: vec r(u,v0) = (a u cos v0, a u sin v0, c u)
Vetor normal:
vec N = (-c a u cos v,;-c a u sin v,;a^2 u).

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