Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Parabolóide elíptico

Passo 1

O enunciado pede para obter uma representação da forma g(x,y) do parabolóide elíptico definido parametricamente por
vec r(u,v)=(3ucos v,;4usin v,;u^2)
Além disso, a gente tem que listar as curvas paramétricas obtidas ao fixar u=cte e v=cte e calcular o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv.

Passo 2

Para achar g(x,y), note que
x=3ucos v, y=4usin v
Daí
x^29u^2+y^216u^2=cos^2v+sin^2v=1
logo
u^2=x^29+y^216
e como z= u^2, concluímos que
g(x,y)=x^29+y^216

Passo 3

As curvas u= u_0 (variando v) são
vec ru=u0(v)=l(3u0cos v,;4u0sin v,;u0^2r), vin[0,2pi),
e as curvas v= v_0 (variando u) são
vec rv=v0(u)=l(3ucos v0,;4usin v0,;u^2r), u>=0

Passo 4

Para o vetor normal, primeiro calculamos as derivadas parciais:
$$\vec r_u=(3\cos v,;4\sin v,;2u),\quad
\vec r_v=(-3u\sin v,;4u\cos v,;0).$$

Passo 5

Fazendo o produto vetorial:
vec N=vec rutimesvec rv = i& j& k 3cos v&4sin v&2u -3usin v&4ucos v&0 =(-8u^2cos v,;-6u^2sin v,;12u)

Resposta

g(x,y)=x^29+y^216
Curvas u= u_0:
vec ru=u0(v)=(3u0cos v,;4u0sin v,;u0^2)
Curvas v= v_0:
vec rv=v0(u)=(3ucos v0,;4usin v0,;u^2)
Vetor normal:
vec N=vec rutimesvec rv=(-8u^2cos v,;-6u^2sin v,;12u)

Exercícios relacionados