Obtenha uma representação da forma
ou
, encontrando as curvas paramétricas (curvas
das superfícies e vetores
normais a elas.
Parabolóide elíptico
Parabolóide elíptico
Passo 1
O enunciado pede para obter uma representação da forma g(x,y) do parabolóide elíptico definido parametricamente por
Além disso, a gente tem que listar as curvas paramétricas obtidas ao fixar u=cte e v=cte e calcular o vetor normal
Passo 2
Para achar g(x,y), note que
Daí
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e como z= u^2, concluímos que
Passo 3
As curvas u= u_0 (variando v) são
e as curvas v= v_0 (variando u) são
Passo 4
Para o vetor normal, primeiro calculamos as derivadas parciais:
$$\vec r_u=(3\cos v,;4\sin v,;2u),\quad
\vec r_v=(-3u\sin v,;4u\cos v,;0).$$
Passo 5
Fazendo o produto vetorial:
Resposta
Curvas u= u_0:
Curvas v= v_0:
Vetor normal: