Obtenha uma representação da forma g(x, y) ou g(x, y, z), encontrando as curvas paramétricas (curvas u=c t e e v=c t e) das superfícies e vetores N=ru times rv normais a elas.
Helicóide r(u, v)=[u cos v, u sen v, v]

Passo 1

O exercício pede para obter uma representação implícita da helicoide dada por vec r(u,v)=[ucos v,;usin v,;v], além de descrever as curvas de nível ( u=cte e v=cte) e o vetor normal vec N=vec rutimesvec rv.

Passo 2

Para as curvas u=cte=u0, variando v, temos
r(v)=[u0cos v,;u0sin v,;v],
que são hélices de raio u0. Para as curvas v=cte=v0, variando u, temos
r(u)=[ucos v0,;usin v0,;v0],
que são retas no plano z=v0 no ângulo v0.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
vec ru=(cos v,;sin v,;0),
vec rv=(-usin v,;ucos v,;1)
O vetor normal é o produto vetorial:
vec N=vec rutimesvec rv=(sin v,;-cos v,;u)

Passo 4

Para a representação implícita, usamos
x=ucos v,
y=usin v,
z=v
Daí u=raizx^2+y^2 e v=z. Mas a relação mais direta é
tan z= yx
que equivale a
xsin z - ycos z=0
Portanto, a função implícita é
g(x,y,z)=xsin z - ycos z

Resposta

Representação implícita: g(x,y,z)=xsin z - ycos z=0.
Curvas paramétricas:
u=u0: r(v)=[u0cos v,;u0sin v,;v].
v=v0: r(u)=[ucos v0,;usin v0,;v0].
Vetor normal: vec N=(sin v,;-cos v,;u).

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