Encontre a transformada inversa f(t) de
F(s)=e^-ss^2+pi^2+e^-2 ss^2+pi^2+e^-3 s(s+2)^2

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular a transformada inversa de Laplace de
F(s)=e^-ss^2+pi^2+e^-2 ss^2+pi^2+e^-3 s(s+2)^2
O conteúdo envolvido é transformada inversa de Laplace e o teorema do deslocamento no tempo. Vamos precisar das transformadas básicas de
1s^2+pi^2e1(s+2)^2
e aplicar o teorema do deslocamento para os fatores e^-as.

Passo 2

Primeiro, separamos F(s) em três parcelas, cada uma com um deslocamento diferente:
F1(s)=e^-ss^2+pi^2, F2(s)=e^-2ss^2+pi^2, F3(s)=e^-3s(s+2)^2
Cada parcela corresponderá a um termo em f(t) aplicado o teorema do deslocamento.

Passo 3

Em seguida, encontramos as transformadas inversas sem deslocamento:
  • Para 1s^2+pi^2, usamos que Lsin(pi t)=pis^2+pi^2. Logo,
L^-1tfrac1s^2+pi^2=tfrac1pisin(pi t)
  • Para 1(s+2)^2, sabemos que Lt e^-2t=1(s+2)^2. Então,
L^-1tfrac1(s+2)^2=t e^-2t

Passo 4

Agora aplicamos o teorema do deslocamento no tempo, que diz
L^-1e^-a sG(s)=u(t-a),g(t-a)
Logo:
  • De F1(s):
f1(t)=u(t-1),tfrac1pisinl(pi(t-1)r)
  • De F2(s):
f2(t)=u(t-2),tfrac1pisinl(pi(t-2)r)
  • De F3(s):
f3(t)=u(t-3),(t-3)e^-2(t-3)

Passo 5

Juntando os três resultados, obtemos a transformada inversa completa como a soma dos termos deslocados.

Resposta

f(t)=1pi,u(t-1)sinl(pi(t-1)r)+1pi,u(t-2)sinl(pi(t-2)r)+u(t-3),(t-3)e^-2(t-3)

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