Obtenha uma representação em série de potências para cada qual das funções dadas a seguir.
f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede: obter uma representação em série de potências para a função \displaystyle f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}.
Informações dadas úteis: a função está escrita como uma razão envolvendo x e uma constante 2. Não há nenhuma figura. Acredito que devemos fornecer a série em potências de x (centrada em 0) e indicar a região de convergência.

Passo 2

Reescrevemos a função para isolarmos uma potência do tipo (1-t)^{-m}, pois isso tem série conhecida. Primeiro manipulação algébrica simples:
f(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^{3}=\frac{x^{3}}{(2-x)^{3}}.
Fatorando 2^{3}=8 do denominador:
\frac{1}{(2-x)^{3}}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}}.
Assim
f(x)=\frac{x^{3}}{8}\cdot\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}}.
Aqui eu defini implicitamente t=\dfrac{x}{2} para usar séries em t.

Passo 3

Vou obter a série de \left(1-t\right)^{-3} (com t=\dfrac{x}{2}). Uma maneira didática de achar os coeficientes é partir da série geométrica e derivar:
\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\frac{1}{1-t}\quad\text{para }\;|t|<1.
Diferenciando em t obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)t^{n}=\frac{1}{(1-t)^{2}}.
Diferenciando novamente e fazendo pequenas manipulações:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)n t^{n}=\frac{2t}{(1-t)^{3}}.
Agora use a identidade (n+1)(n+2)=(n+1)n+2(n+1) e some as séries correspondentes:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)t^{n} =\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)n t^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)t^{n} =\frac{2t}{(1-t)^{3}}+\frac{2}{(1-t)^{2}}=\frac{2}{(1-t)^{3}}.
Dividindo por 2 vem a fórmula desejada:
\frac{1}{(1-t)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\,t^{n}\quad\text{para }\;|t|<1.
Aqui \dfrac{(n+1)(n+2)}{2} é o coeficiente combinatório \binom{n+2}{2}.

Passo 4

Substituímos t=\dfrac{x}{2} na série anterior:
\frac{1}{\left(1-\dfrac{x}{2}\right)^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}, \qquad\text{válido para }\left|\frac{x}{2}\right|<1\\ (\text{ou }|x|<2).á
Multiplicando por \dfrac{x^{3}}{8} (veja o Passo 2):
f(x)=\frac{x^{3}}{8}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)(n+2)}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.
Agora simplificamos o coeficiente: o termo geral (antes de reindexar) é
\frac{(n+1)(n+2)}{2}\cdot\frac{x^{n+3}}{8\cdot 2^{n}}=\frac{(n+1)(n+2)}{2^{\,n+4}}\,x^{n+3}.

Passo 5

Reindexando para ter a série em potências x^{k} com k=n+3 (então k varia de 3 a \infty), substituímos n=k-3. O coeficiente fica
\frac{(k-1)(k-2)}{2^{k+1}},
logo a série fica
f(x)=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{(k-1)(k-2)}{2^{\,k+1}}\,x^{k}, \qquad\text{para }|x|<2.
Para facilitar a intuição, os primeiros termos são:
f(x)=\tfrac{1}{8}x^{3}+\tfrac{3}{16}x^{4}+\tfrac{6}{32}x^{5}+\tfrac{10}{64}x^{6}+\cdots.

Resposta

f(x)=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{(k-1)(k-2)}{2^{\,k+1}}\,x^{k},\qquad |x|<2

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