Obtenha o raio (R) e o intervalo (I) de convergência de cada série de potências dada a seguir. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência I da série de potências centrada em 0
O termo geral é \displaystyle \frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}\,x^n.
Precisamos determinar para quais valores de x essa soma infinita converge (isso dará o intervalo I) e, em particular, o raio R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R (os endpoints |x|=R precisam ser verificados separadamente).
Passo 2
Vamos simplificar o fator do denominador 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1). Observe que
(2n)! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(2n-1)\cdot(2n).
Agrupando os fatores pares como 2\cdot1,\;2\cdot2,\;\ldots,\;2\cdot n, obtemos
Para encontrar o raio de convergência usemos o teste da razão (é o jeito padrão e direto aqui). Definimos o termo geral completo u_n(x)=a_n x^n. O teste da razão pede que calculemos
Pelo teste da razão, a série converge se \dfrac{|x|}{2}<1, isto é |x|<2. Portanto o raio de convergência é
R=2.
Passo 7
Temos que verificar os pontos finais |x|=2, ou seja x=2 e x=-2. Primeira observação prática: se os termos gerais não tendem a zero no ponto extremo, a série não pode convergir. Vamos estudar o módulo do termo geral nesses pontos.
Substituindo x=2 no termo geral obtemos (usando a expressão encontrada)
Precisamos saber o comportamento de \dfrac{4^n}{\binom{2n}{n}} quando n\to\infty. Aqui usamos a conhecida aproximação de Stirling (vou explicar de forma simples): para n grande
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
Usando Stirling para \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2} obtém-se (uma aplicação padrão)
Assim u_n(2)\to\infty (na verdade cresce como \sqrt{n}), em particular não tende a zero. Se os termos gerais não tendem a zero, a série não converge. Logo a série diverge para x=2.
Observação empática: eu sei que Stirling pode parecer pesado, mas a essência é que \binom{2n}{n} é aproximadamente 4^n/\sqrt{\pi n}, então 4^n/\binom{2n}{n} cresce como \sqrt{n} — portanto diverge.
Passo 9
Para x=-2 temos exatamente os mesmos módulos dos termos, só muda o sinal alternado:
O módulo |u_n(-2)| é igual a |u_n(2)|, que tendem a \infty (ou pelo menos não tendem a zero). Portanto |u_n(-2)|\not\to0, e a série não converge em x=-2 também.
Passo 10
Conclusão: a série converge para todos os x tais que |x|<2 e diverge para |x|\ge 2. Assim o raio e o intervalo de convergência são: