Obtenha o raio (R) e o intervalo (I) de convergência de cada série de potências dada a seguir.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência I da série de potências centrada em 0
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!x^{n}}{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral é \displaystyle \frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)}\,x^n.
  • Precisamos determinar para quais valores de x essa soma infinita converge (isso dará o intervalo I) e, em particular, o raio R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R (os endpoints |x|=R precisam ser verificados separadamente).

Passo 2

Vamos simplificar o fator do denominador 1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1). Observe que
(2n)! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(2n-1)\cdot(2n).
Agrupando os fatores pares como 2\cdot1,\;2\cdot2,\;\ldots,\;2\cdot n, obtemos
(2n)! = (1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1))\cdot(2\cdot4\cdot6\cdots(2n)).
Mas
2\cdot4\cdot6\cdots(2n) = 2^n (1\cdot2\cdot3\cdots n) = 2^n n!.
Portanto
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}.

Passo 3

Substituo essa expressão no termo geral da série. O termo multiplo de x^n fica
\frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdot\ldots\cdot(2n-1)} = n! \cdot \frac{2^n n!}{(2n)!} = \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}.
Assim a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^\infty a_n x^n,\qquad\text{com}\qquad a_n = \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}.

Passo 4

Para encontrar o raio de convergência usemos o teste da razão (é o jeito padrão e direto aqui). Definimos o termo geral completo u_n(x)=a_n x^n. O teste da razão pede que calculemos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 convergimos, se L>1 divergimos. Vamos então calcular \dfrac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 5

Calculemos \dfrac{a_{n+1}}{a_n}:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{2^{n+1}((n+1)!)^2/(2n+2)!}{2^n (n!)^2/(2n)!} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}.
Note que 2n+2=2(n+1), então
\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\cdot\frac{(n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)}=\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 6

Agora o limite do fator de razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Logo, para a série com x aplicado,
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n\to\infty}|x|\frac{a_{n+1}}{a_n}=|x|\cdot\frac{1}{2}=\frac{|x|}{2}.
Pelo teste da razão, a série converge se \dfrac{|x|}{2}<1, isto é |x|<2. Portanto o raio de convergência é
R=2.

Passo 7

Temos que verificar os pontos finais |x|=2, ou seja x=2 e x=-2. Primeira observação prática: se os termos gerais não tendem a zero no ponto extremo, a série não pode convergir. Vamos estudar o módulo do termo geral nesses pontos.
Substituindo x=2 no termo geral obtemos (usando a expressão encontrada)
u_n(2)=a_n 2^n = \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}\cdot 2^n = \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!}.
Reescrevendo com o coficiente binomial central,
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{1}{\binom{2n}{n}}.
Portanto
u_n(2)=\frac{4^n}{\binom{2n}{n}}.

Passo 8

Precisamos saber o comportamento de \dfrac{4^n}{\binom{2n}{n}} quando n\to\infty. Aqui usamos a conhecida aproximação de Stirling (vou explicar de forma simples): para n grande
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.
Usando Stirling para \binom{2n}{n}=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2} obtém-se (uma aplicação padrão)
\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.
Logo
\frac{4^n}{\binom{2n}{n}} \sim \frac{4^n}{\,4^n/\sqrt{\pi n}\,}=\sqrt{\pi n}\quad\text{quando }n\to\infty.
Assim u_n(2)\to\infty (na verdade cresce como \sqrt{n}), em particular não tende a zero. Se os termos gerais não tendem a zero, a série não converge. Logo a série diverge para x=2.
Observação empática: eu sei que Stirling pode parecer pesado, mas a essência é que \binom{2n}{n} é aproximadamente 4^n/\sqrt{\pi n}, então 4^n/\binom{2n}{n} cresce como \sqrt{n} — portanto diverge.

Passo 9

Para x=-2 temos exatamente os mesmos módulos dos termos, só muda o sinal alternado:
u_n(-2)=a_n(-2)^n = (-1)^n\frac{4^n}{\binom{2n}{n}}.
O módulo |u_n(-2)| é igual a |u_n(2)|, que tendem a \infty (ou pelo menos não tendem a zero). Portanto |u_n(-2)|\not\to0, e a série não converge em x=-2 também.

Passo 10

Conclusão: a série converge para todos os x tais que |x|<2 e diverge para |x|\ge 2. Assim o raio e o intervalo de convergência são:

Resposta

R=2
I=(-2,2)

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