Obtenha o raio (R) e o intervalo (I) de convergência de cada série de potências dada a seguir.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio R e o intervalo I de convergência da série de potências centrada em 0
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)} x^{n}.
Informações relevantes que temos:
  • Os coeficientes da série são a_{n}=\dfrac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)}.
  • A série é da forma \sum a_{n} x^{n} (centro em 0), então o raio de convergência R vem da fórmula geral envolvendo \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}.
  • Depois de achar R precisamos testar os pontos finais x= \pm R.

Passo 2

Vou calcular o raio R usando a fórmula com \limsup:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Primeiro calculemos |a_n|^{1/n}. Como a_n>0,
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)}\right)^{1/n} =\frac{n^{1/n}}{2\,(n^{2}+1)^{1/n}}.
Agora precisamos do limite quando n\to\infty. Dois fatos padrão (vou justificar rapidamente):
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1. Justificativa curta: \ln(n^{1/n})=(\ln n)/n\to 0, então n^{1/n}=e^{(\ln n)/n}\to e^0=1.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} (n^{2}+1)^{1/n}=1. Justificativa: \ln\big((n^2+1)^{1/n}\big)=(1/n)\ln(n^2+1)\sim (1/n)\cdot 2\ln n\to 0, logo a exponencial tende a 1.
Usando isso,
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\frac{1}{2}.
Portanto
R=\frac{1}{1/2}=2.

Passo 3

Interpretação: a série converge absolutamente para |x|<2 e diverge para |x|>2. Agora precisamos investigar os dois pontos finais x=2 e x=-2 para decidir inclusão/exclusão no intervalo de convergência.

Passo 4

Teste no ponto x=2. Substituindo \,x=2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)} 2^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Analisemos \displaystyle \frac{n}{n^{2}+1} quando n\to\infty. Comparamos com 1/n (série harmônica):
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{n^{2}+1}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1.
Como a série \sum \frac{1}{n} diverge e o limite da razão é finito e não nulo, pela comparação-limite a série \sum \frac{n}{n^{2}+1} também diverge. Conclusão: em x=2 a série diverge (portanto x=2 não pertence ao intervalo).

Passo 5

Teste no ponto x=-2. Substituindo \,x=-2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}\left(n^{2}+1\right)} (-2)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{n^{2}+1}.
É uma série alternada com termos positivos
b_n=\frac{n}{n^{2}+1}.
Para aplicar o teste de Leibniz (critério das séries alternadas) precisamos de:
  1. \displaystyle b_n\to 0 quando n\to\infty. De fato \displaystyle b_n\sim \frac{1}{n}\to 0.
  2. (b_n) é monótona não crescente a partir de algum índice. Para verificar, considere a função contínua f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}. Calculando a derivada,
f'(x)=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1 temos f'(x)<0, logo f é decrescente para x>1. Assim b_n=f(n) é decrescente para n\ge 2 (e entre n=1 e n=2 não há problema). Portanto as hipóteses do critério de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge. Porém, a convergência não é absoluta porque a série dos valores absolutos é exatamente a série do caso x=2, que já vimos divergir. Portanto em x=-2 a série converge condicionalmente.

Passo 6

Conclusão final: o raio de convergência é R=2. O intervalo de convergência (centro em 0) inclui o ponto x=-2 (convergência condicional) e exclui x=2 (diverge). Assim o intervalo é [-2,2).

Resposta

R=2\n I=[-2,2)

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