Obtenha o raio
e o intervalo
de convergência de cada série de potências dada a seguir.
Passo 1
O enunciado pede o raio
e o intervalo
de convergência da série de potências centrada em
Informações relevantes que temos:
- Os coeficientes da série são
. - A série é da forma
(centro em ), então o raio de convergência vem da fórmula geral envolvendo . - Depois de achar
precisamos testar os pontos finais .
Passo 2
Vou calcular o raio
usando a fórmula com
:
Primeiro calculemos
. Como
,
Agora precisamos do limite quando
. Dois fatos padrão (vou justificar rapidamente):
-
. Justificativa curta: , então . -
. Justificativa: , logo a exponencial tende a .
Usando isso,
Portanto
Passo 3
Interpretação: a série converge absolutamente para
e diverge para
. Agora precisamos investigar os dois pontos finais
e
para decidir inclusão/exclusão no intervalo de convergência.
Passo 4
Teste no ponto
. Substituindo
,
Analisemos
quando
. Comparamos com
(série harmônica):
Como a série
diverge e o limite da razão é finito e não nulo, pela comparação-limite a série
também diverge. Conclusão: em
a série diverge (portanto
não pertence ao intervalo).
Passo 5
Teste no ponto
. Substituindo
,
É uma série alternada com termos positivos
Para aplicar o teste de Leibniz (critério das séries alternadas) precisamos de:
-
quando . De fato . -
é monótona não crescente a partir de algum índice. Para verificar, considere a função contínua . Calculando a derivada,
Para
temos
, logo
é decrescente para
. Assim
é decrescente para
(e entre
e
não há problema). Portanto as hipóteses do critério de Leibniz são satisfeitas e a série alternada converge. Porém, a convergência não é absoluta porque a série dos valores absolutos é exatamente a série do caso
, que já vimos divergir. Portanto em
a série converge condicionalmente.
Passo 6
Conclusão final: o raio de convergência é
. O intervalo de convergência (centro em
) inclui o ponto
(convergência condicional) e exclui
(diverge). Assim o intervalo é
.