Obtenha a reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t=t_{0} :
a) r(t)=(2 \cos \pi t, 2 \operatorname{sen} \pi t, 3 t), \quad t_{0}=\frac{1}{3};
b) r(t)=\left(\ln t, e^{-t}, t^{3}\right), \quad t_{0}=2.

Passo 1

O enunciado pede: "Obtenha a reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t=t_{0}". Há duas partes separadas.
Dados:
  • (a) r(t)=\bigl(2\cos(\pi t),\;2\operatorname{sen}(\pi t),\;3t\bigr), t_{0}=\dfrac{1}{3}.
  • (b) r(t)=\bigl(\ln t,\;e^{-t},\;t^{3}\bigr), t_{0}=2.
O que é pedido para cada item:
  • Calcular o ponto do espaço onde passa a curva quando t=t_{0}, ou seja r(t_{0}).
  • Calcular o vetor derivada r'(t) e avaliá‑lo em t_{0}: r'(t_{0}). Esse vetor é a direção da reta tangente.
  • Escrever a equação da reta tangente (forma paramétrica e, se quiser, forma simétrica).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (sem pular etapas).
  • Para uma curva parametrizada por r(t), o vetor r'(t) é a velocidade instantânea; geometricamente, ele é tangente à curva. Logo a reta tangente em t=t_{0} passa por r(t_{0}) e tem direção r'(t_{0}).
  • Forma paramétrica da reta tangente: se \mathbf{p}=r(t_{0}) e \mathbf{v}=r'(t_{0}), então qualquer ponto da reta é
\ell(\lambda)=\mathbf{p}+\lambda\,\mathbf{v},\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
  • Forma simétrica (quando as componentes de \mathbf{v} são não nulas): se \mathbf{p}=(x_{0},y_{0},z_{0}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}),
\frac{x-x_{0}}{v_{1}}=\frac{y-y_{0}}{v_{2}}=\frac{z-z_{0}}{v_{3}}.
  • Regras de derivação que serão usadas (lembrando os porquês):
    • Derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t) (regra da cadeia).
    • Derivada de \sin(u(t)) é \cos(u(t))\cdot u'(t).
    • Derivada de \ln t é \dfrac{1}{t}.
    • Derivada de e^{u(t)} é e^{u(t)}\cdot u'(t).
    • Derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Agora aplicamos isso passo a passo para (a) e (b).

Passo 3

Calcular r'(t) tomando derivada componente a componente.
  • Primeira componente: x(t)=2\cos(\pi t).
    Aplicando a regra da cadeia: derivada de \cos(\pi t) é -\sin(\pi t)\cdot(\pi). Logo x'(t) = 2\cdot\bigl(-\sin(\pi t)\cdot\pi\bigr) = -2\pi\sin(\pi t).
  • Segunda componente: y(t)=2\operatorname{sen}(\pi t). (Usando a notação sen = \sin.)
    Derivada de \sin(\pi t) é \cos(\pi t)\cdot\pi. Logo y'(t) = 2\cdot\bigl(\cos(\pi t)\cdot\pi\bigr) = 2\pi\cos(\pi t).
  • Terceira componente: z(t)=3t.
    Derivada é z'(t)=3.
Portanto
r'(t)=\bigl(-2\pi\sin(\pi t),\;2\pi\cos(\pi t),\;3\bigr).

Passo 4

Calcular r\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) e r'\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).
  • Primeiro, valores trigonométricos básicos: \sin\bigl(\pi/3\bigr)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\bigl(\pi/3\bigr)=\dfrac{1}{2}.
  • Calcular o ponto: r\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)=\bigl(2\cos(\pi/3),\;2\sin(\pi/3),\;3\cdot\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(2\cdot\tfrac{1}{2},\;2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;1\bigr) =\bigl(1,\;\sqrt{3},\;1\bigr).
  • Calcular o vetor direção: r'\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)=\bigl(-2\pi\sin(\pi/3),\;2\pi\cos(\pi/3),\;3\bigr) =\bigl(-2\pi\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;2\pi\cdot\tfrac{1}{2},\;3\bigr) =\bigl(-\pi\sqrt{3},\;\pi,\;3\bigr).
Escrever a reta tangente em forma paramétrica (parâmetro \lambda):
\ell_{a}(\lambda)=\bigl(1,\sqrt{3},1\bigr)+\lambda\bigl(-\pi\sqrt{3},\pi,3\bigr).
Forma simétrica:
\frac{x-1}{-\pi\sqrt{3}}=\frac{y-\sqrt{3}}{\pi}=\frac{z-1}{3}.

Passo 5

Calcular r'(t) componente a componente para r(t)=\bigl(\ln t,\;e^{-t},\;t^{3}\bigr).
  • Primeira componente: x(t)=\ln t. Derivada x'(t)=\frac{1}{t}.
  • Segunda componente: y(t)=e^{-t}. Usando regra da cadeia com u(t)=-t: y'(t)=e^{-t}\cdot(-1) = -e^{-t}.
  • Terceira componente: z(t)=t^{3}. Derivada z'(t)=3t^{2}.
Portanto
r'(t)=\Bigl(\frac{1}{t},\;-e^{-t},\;3t^{2}\Bigr).

Passo 6

Calcular r(2) e r'(2).
  • Ponto: r(2)=\bigl(\ln 2,\;e^{-2},\;2^{3}\bigr)=\bigl(\ln 2,\;e^{-2},\;8\bigr).
  • Vetor direção: r'(2)=\Bigl(\frac{1}{2},\;-e^{-2},\;3\cdot 2^{2}\Bigr)=\Bigl(\frac{1}{2},\;-e^{-2},\;12\Bigr).
Forma paramétrica da reta tangente (parâmetro \lambda):
\ell_{b}(\lambda)=\bigl(\ln 2,\;e^{-2},\;8\bigr)+\lambda\Bigl(\tfrac{1}{2},\;-e^{-2},\;12\Bigr).
Forma simétrica:
\frac{x-\ln 2}{\tfrac{1}{2}}=\frac{y-e^{-2}}{-e^{-2}}=\frac{z-8}{12}.

Passo 7

Resumo do método prático (para usar na prova, passo a passo rápido e seguro):
  1. Calcule r(t_{0}) para achar o ponto da reta.
  2. Calcule r'(t) componente a componente (use regra da cadeia quando for função composta).
  3. Avalie r'(t_{0}) para obter a direção.
  4. Escreva a reta como r(t_{0})+\lambda\,r'(t_{0}). Se precisar, transforme para a forma simétrica.
Vai dar tudo certo — respira fundo, segue os passos e repete o processo que fica automático.

Resposta

(a) \ell_{a}(\lambda)=\bigl(1,\sqrt{3},1\bigr)+\lambda\bigl(-\pi\sqrt{3},\pi,3\bigr)
(b) \ell_{b}(\lambda)=\bigl(\ln 2,\;e^{-2},\;8\bigr)+\lambda\Bigl(\tfrac{1}{2},\;-e^{-2},\;12\Bigr)

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