Obtenha a reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede: "Obtenha a reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
". Há duas partes separadas.
Dados:
- (a)
, . - (b)
, .
O que é pedido para cada item:
- Calcular o ponto do espaço onde passa a curva quando
, ou seja . - Calcular o vetor derivada
e avaliá‑lo em : . Esse vetor é a direção da reta tangente. - Escrever a equação da reta tangente (forma paramétrica e, se quiser, forma simétrica).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (sem pular etapas).
- Para uma curva parametrizada por
, o vetor é a velocidade instantânea; geometricamente, ele é tangente à curva. Logo a reta tangente em passa por e tem direção . - Forma paramétrica da reta tangente: se
e , então qualquer ponto da reta é
- Forma simétrica (quando as componentes de
são não nulas): se e ,
- Regras de derivação que serão usadas (lembrando os porquês):
- Derivada de
é (regra da cadeia). - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
- Derivada de
Agora aplicamos isso passo a passo para (a) e (b).
Passo 3
Calcular
tomando derivada componente a componente.
- Primeira componente:
.
Aplicando a regra da cadeia: derivada deé . Logo - Segunda componente:
. (Usando a notação sen = .)
Derivada deé . Logo - Terceira componente:
.
Derivada é
Portanto
Passo 4
Calcular
e
.
- Primeiro, valores trigonométricos básicos:
e . - Calcular o ponto:
- Calcular o vetor direção:
Escrever a reta tangente em forma paramétrica (parâmetro
):
Forma simétrica:
Passo 5
Calcular
componente a componente para
.
- Primeira componente:
. Derivada - Segunda componente:
. Usando regra da cadeia com : - Terceira componente:
. Derivada
Portanto
Passo 6
Calcular
e
.
- Ponto:
- Vetor direção:
Forma paramétrica da reta tangente (parâmetro
):
Forma simétrica:
Passo 7
Resumo do método prático (para usar na prova, passo a passo rápido e seguro):
- Calcule
para achar o ponto da reta. - Calcule
componente a componente (use regra da cadeia quando for função composta). - Avalie
para obter a direção. - Escreva a reta como
. Se precisar, transforme para a forma simétrica.
Vai dar tudo certo — respira fundo, segue os passos e repete o processo que fica automático.
Resposta
(a)
(b)