Obtenha o rotacional dos vetores abaixo. Quais destes vetores poderia ser um campo elétrico? Justifique.
B=x i+y j+z k

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{B}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}
e pede (a) calcular o rotacional de \mathbf{B} e (b) verificar se esse campo poderia ser um campo elétrico (no regime eletrostático), justificando.

Passo 2

Para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas usamos a definição
\nabla\times\mathbf{B} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}
onde B_x=x, B_y=y e B_z=z.

Passo 3

Aplicando a fórmula componente a componente:
(\nabla\times\mathbf{B})_x =\frac{\partial B_y}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial y} =\frac{\partial y}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial y} =0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{B})_y =\frac{\partial B_z}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial z} =\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial z} =0-0=0,
(\nabla\times\mathbf{B})_z =\frac{\partial B_x}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial x} =\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial x} =0-0=0.

Passo 4

Portanto
\nabla\times\mathbf{B}=\mathbf{0}.
No eletroestático o campo elétrico satisfaz
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0},
isto é, é irrotacional (conservativo), podendo ser escrito como \mathbf{E}=-\nabla V. Como \mathbf{B} também é irrotacional, ele poderia ser um campo elétrico no regime estático.

Resposta

\nabla\times\mathbf{B}=\mathbf{0}.
Esse campo pode representar um campo elétrico eletrostático, pois é irrotacional \nabla\times\mathbf{E}=0.

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