Obtenha o rotacional dos vetores abaixo. Quais destes vetores poderia ser um campo elétrico? Justifique.
C=x^{2} i+y^{2} j+z^{2} k
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo \mathbf{C}(x,y,z)=x^2\,\mathbf{i}+y^2\,\mathbf{j}+z^2\,\mathbf{k}
usando cálculo vetorial, e então verificar se esse campo poderia representar um campo elétrico estático. Vamos usar a definição de \nabla\times\mathbf{C} e as propriedades de campos conservativos em regiões simplesmente conexas.
Passo 2
A definição de rotacional em coordenadas cartesianas é
Calculando cada componente:
– Componente \mathbf{i}: \partial(z^2)/\partial y - \partial(y^2)/\partial z = 0 - 0 = 0.
– Componente \mathbf{j}: \partial(x^2)/\partial z - \partial(z^2)/\partial x = 0 - 0 = 0.
– Componente \mathbf{k}: \partial(y^2)/\partial x - \partial(x^2)/\partial y = 0 - 0 = 0.
Logo,
\nabla\times\mathbf{C}=\mathbf{0}.
Passo 3
Em eletrostática, um campo elétrico \mathbf{E} em região simplesmente conexa satisfaz
\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0},
o que garante que \mathbf{E} seja derivável de um potencial escalar \varphi via
\mathbf{E}=-\nabla\varphi.
Como \nabla\times\mathbf{C}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^3, \mathbf{C} é conservativo e, portanto, admite potencial escalar.
Resposta
O rotacional é
\nabla\times\mathbf{C}=\mathbf{0}.
Como ele é identicamente nulo em \mathbb{R}^3, \mathbf{C} pode ser um campo elétrico estático, pois satisfaz a condição de nulidade do rotacional e admite potencial escalar.