1. Uma linha infinita de carga tem densidade linear \lambda=5,0 \mu C / m. Determine o potencial elétrico em um ponto a 0,10 \mathrm{~m} da linha.

Passo 1

O enunciado nos dá uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda = 5{,}0\\ \mu\mathrm{C/m} e pede o potencial elétrico a r=0{,}10\\ \mathrm{m}. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico de uma linha infinita e depois integrar esse campo para achar a diferença de potencial. Como o potencial absoluto é definido até uma constante, escolhemos um ponto de referência r_{0}=1\\ \mathrm{m} e definimos V(r_{0})=0.

Passo 2

Pela Lei de Gauss, o campo elétrico de uma linha infinita de carga a distância r é
E(r) \;=\;\frac{\lambda}{2\pi\,\epsilon_{0}\,r}\,.

Passo 3

O potencial elétrico relativo entre r_{0} e r é
V(r)-V(r_{0}) =-\int_{r_{0}}^{r}E(r')\,dr' =-\int_{r_{0}}^{r}\frac{\lambda}{2\pi\,\epsilon_{0}\,r'}\,dr' =\frac{\lambda}{2\pi\,\epsilon_{0}}\ln\frac{r_{0}}{r}.
Como V(r_{0})=0 e escolhemos r_{0}=1\\ \mathrm{m}, obtemos
V(r) =\frac{\lambda}{2\pi\,\epsilon_{0}}\ln\frac{1}{r}.

Passo 4

Substituindo \lambda=5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}, \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m} e r=0{,}10\\ \mathrm{m}:
V(0{,}10) =\frac{5{,}0\times10^{-6}}{2\pi\cdot8{,}85\times10^{-12}}\ln(10) \approx2{,}07\times10^{5}\\ \mathrm{V}.

Resposta

V(0{,}10\\ \mathrm{m})\approx2,1\times10^{5}\\ \mathrm{V}.

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