Obtenha os seguintes polígonos regulares inscritos na circunferência de raio 6 cm .
Octógono

Passo 1

O enunciado pede um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 6 cm. Para resolvê-lo, vamos usar trigonometria em polígonos regulares: cada lado é dado por
s = 2R\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{n}\Bigr),
o apótema por
a = R\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{n}\Bigr),
o perímetro por P = n\,s e a área por
A = \frac{P\,a}{2}.
Aqui R=6 cm e n=8.

Passo 2

Calculemos o comprimento do lado usando
s = 2R\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = 2\cdot6\cdot\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = 12\sin\!\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr).
Sabemos que \sin(\pi/8)=\sqrt{2-\sqrt{2}}/2, então
s = 12\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = 6\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{ cm}.

Passo 3

Determinar o apótema:
a = R\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = 6\cos\!\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = 6\cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = 3\sqrt{2+\sqrt{2}}\text{ cm}.

Passo 4

Agora o perímetro:
P = n\,s = 8\cdot\bigl(6\sqrt{2-\sqrt{2}}\bigr) = 48\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{ cm}.

Passo 5

Finalmente, a área:
A = \frac{P\,a}{2} = \frac{48\sqrt{2-\sqrt{2}}\;\times\;3\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = 24\cdot3\sqrt{\,(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})\,} = 72\sqrt{2}\text{ cm}^2,
pois (2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=2.

Resposta

Comprimento do lado: s = 6\sqrt{2-\sqrt{2}} cm
Apótema: a = 3\sqrt{2+\sqrt{2}} cm
Perímetro: P = 48\sqrt{2-\sqrt{2}} cm
Área: A = 72\sqrt{2} cm ^2

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