Obtenha a série de Maclaurin para a função co-seno, derivando a série de Maclaurin para a função seno. Também, obtenha a série de Maclaurin para a função seno, derivando a série da função co-seno.

Passo 1

O enunciado pede as séries de Maclaurin de sin x e de cos x, usando a relação de derivadas entre elas. Em particular, vamos derivar termo a termo a série de sin x para obter a de cos x e depois derivar termo a termo a série de cos x (com o sinal apropriado) para recuperar a de sin x.

Passo 2

A série de Maclaurin de sin x é bem conhecida e pode ser escrita como
sin x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Essa fórmula decorre de expandir sin x em Taylor em torno de 0, usando que somente as derivadas ímpares em 0 são não-nulas.

Passo 3

Derivando termo a termo a série de sin x temos
ddxl(sin xr) =sumn=0^infty(-1)^n,ddx!l(x^2n+1(2n+1)!r) =sumn=0^infty(-1)^n,(2n+1),x^2n(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!
Como ddx(sin x)=cos x, obtemos
cos x ;=;sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!

Passo 4

Agora, partindo da série de cos x,
cos x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!,
sabemos que
ddxl(cos xr)=-sin x
Derivando termo a termo:
ddx!l(cos xr) =sumn=0^infty(-1)^n,2n,x^2n-1(2n)! =sumn=1^infty(-1)^n,x^2n-1(2n-1)!
Multiplicando por -1 e reindexando m=n-1 para recolocar em 2m+1, concluímos
sin x =-ddx(cos x) =summ=0^infty(-1)^m,x^2m+1(2m+1)!

Resposta

cos x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!,
sin x = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!

Exercícios relacionados