Obtenha a série de Maclaurin para a função co-seno, derivando a série de Maclaurin para a função seno. Também, obtenha a série de Maclaurin para a função seno, derivando a série da função co-seno.
Passo 1
O enunciado pede as séries de Maclaurin de
e de
, usando a relação de derivadas entre elas. Em particular, vamos derivar termo a termo a série de
para obter a de
e depois derivar termo a termo a série de
(com o sinal apropriado) para recuperar a de
.
Passo 2
A série de Maclaurin de
é bem conhecida e pode ser escrita como
Essa fórmula decorre de expandir
em Taylor em torno de
, usando que somente as derivadas ímpares em
são não-nulas.
Passo 3
Derivando termo a termo a série de
temos
Como
, obtemos
Passo 4
Agora, partindo da série de
,
sabemos que
Derivando termo a termo:
Multiplicando por
e reindexando
para recolocar em
, concluímos