onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0. Cada coeficiente \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} multiplica a potência x^n. Na prática, para funções conhecidas (como \sin x) costuma-se lembrar a expansão padrão e então usar álgebra simples para obter a série pedida.
Passo 3
Construção da série de \sin x lembrando as derivadas em 0. As derivadas de \sin x formam um ciclo de período 4:
\begin{aligned} \sin x &\xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } \cos x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } -\sin x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } -\cos x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } \sin x. \end{aligned}
Assim, apenas as derivadas de ordem ímpar de \sin x em 0 são não nulas, com sinal alternado. Aplicando a fórmula de Maclaurin para \sin x obtém-se (padrão bem conhecido, mas aqui está justificado pelos valores das derivadas):
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Passo 4
Agora multiplicamos termo a termo por x para obter g(x)=x\sin x. Se
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots,
Comentários práticos e de exame: memore a série de \sin x e multiplique por x. A série obtida converge para todo x (raio de convergência infinito), pois \sin x é função inteira. Em prova, escrever os primeiros termos e a forma em somatório é suficiente e rápida.