Obtenha a série de Maclaurin para a função g(x)=x \operatorname{sen}(x).

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin (série de Taylor centrada em 0) para a função g(x)=x\,\operatorname{sen}(x).
Informações dadas:
  • A função é g(x)=x\,\operatorname{sen}(x).
  • Precisa-se da série de Maclaurin (expansão em potências de x em torno de 0).

Passo 2

Lembrete sobre o que é série de Maclaurin (fórmula e significado). A série de Maclaurin de uma função f é dada por
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=0. Cada coeficiente \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} multiplica a potência x^n. Na prática, para funções conhecidas (como \sin x) costuma-se lembrar a expansão padrão e então usar álgebra simples para obter a série pedida.

Passo 3

Construção da série de \sin x lembrando as derivadas em 0. As derivadas de \sin x formam um ciclo de período 4:
\begin{aligned} \sin x &\xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } \cos x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } -\sin x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } -\cos x \xrightarrow{\\ \mathrm{deriv.}\\ } \sin x. \end{aligned}
Avaliações em 0:
\sin(0)=0,\qquad \cos(0)=1,\qquad -\sin(0)=0,\qquad -\cos(0)=-1.
Assim, apenas as derivadas de ordem ímpar de \sin x em 0 são não nulas, com sinal alternado. Aplicando a fórmula de Maclaurin para \sin x obtém-se (padrão bem conhecido, mas aqui está justificado pelos valores das derivadas):
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.

Passo 4

Agora multiplicamos termo a termo por x para obter g(x)=x\sin x. Se
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots,
então
g(x)=x\sin x = x\left(x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots\right).

Passo 5

Multiplicando os termos obtemos os primeiros termos explícitos e a forma geral:
g(x)=x\sin x = x^{2} - \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{6}}{5!} - \frac{x^{8}}{7!} + \cdots.
Em soma indexada, uma forma conveniente é
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!}.
Outra forma equivalente, mudando o índice, é
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{\,n-1}\frac{x^{2n}}{(2n-1)!}.

Passo 6

Comentários práticos e de exame: memore a série de \sin x e multiplique por x. A série obtida converge para todo x (raio de convergência infinito), pois \sin x é função inteira. Em prova, escrever os primeiros termos e a forma em somatório é suficiente e rápida.

Resposta

g(x)=x\sin x = x^{2} - \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{6}}{5!} - \frac{x^{8}}{7!} + \cdots
\text{ou}\qquad g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!}.

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