Abaixo são apresentadas três séries. Faça a identificação da série e analise a convergência. Dica: Deixe claro qual o teste que está sendo utilizado e a razão de tal escolha.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede: identificar a série (que tipo é) e analisar sua convergência.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O termo geral é
. - Há um fator
, portanto os sinais alternam entre positivo e negativo. - A parte positiva (magnitude) do termo é
.
Passo 2
Identificação da série:
- A série é alternada por causa do fator
. - Para estudar convergência é útil olhar a série de termos positivos (a série absoluta) com termo
Se a série de valores absolutos converge, dizemos que a série original converge absolutamente (e portanto converge). Se a série absoluta diverge, ainda restaria testar convergência condicional, mas primeiro vamos testar a convergência absoluta.
Passo 3
Escolha do teste e justificativa:
- Repare que o termo absoluto tem potências com exponente proporcional a
: tanto quanto envolvem algo elevado a . Quando a expressão do termo é da forma ou contém fatores elevados a , o Teste da Raiz (root test) costuma ser o mais direto e simples. - Enunciado do Teste da Raiz (versão usada): para a série
considere
Se
então a série converge absolutamente; se
então diverge; se
o teste é inconclusivo.
- Vamos aplicar esse teste a
.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro simplifico
:
Escrevendo de forma a separar a potência em
:
Agora aplico a raiz
-ésima:
Passo 5
Calcular o limite
. Observações:
-
porque a raiz -ésima de uma constante positiva tende a . -
.
Portanto, pelo produto,
Passo 6
Conclusão pelo Teste da Raiz:
- Como
, o Teste da Raiz garante que a série converge. - Logo a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternada original.
Resposta
A série é alternada e converge absolutamente; portanto, converge.