Abaixo são apresentadas três séries. Faça a identificação da série e analise a convergência. Dica: Deixe claro qual o teste que está sendo utilizado e a razão de tal escolha.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{4^{2 n+1}}{n^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}
e pede: identificar a série (que tipo é) e analisar sua convergência.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O termo geral é (-1)^{n}\dfrac{4^{2n+1}}{n^{2n}}.
  • Há um fator (-1)^{n}, portanto os sinais alternam entre positivo e negativo.
  • A parte positiva (magnitude) do termo é \dfrac{4^{2n+1}}{n^{2n}}.

Passo 2

Identificação da série:
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
  • Para estudar convergência é útil olhar a série de termos positivos (a série absoluta) com termo
|a_n|=\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}.
Se a série de valores absolutos converge, dizemos que a série original converge absolutamente (e portanto converge). Se a série absoluta diverge, ainda restaria testar convergência condicional, mas primeiro vamos testar a convergência absoluta.

Passo 3

Escolha do teste e justificativa:
  • Repare que o termo absoluto tem potências com exponente proporcional a n: tanto 4^{2n+1} quanto n^{2n} envolvem algo elevado a n. Quando a expressão do termo é da forma c^{n} ou contém fatores elevados a n, o Teste da Raiz (root test) costuma ser o mais direto e simples.
  • Enunciado do Teste da Raiz (versão usada): para a série \sum a_n considere
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 então a série converge absolutamente; se L>1 então diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Vamos aplicar esse teste a |a_n|.

Passo 4

Cálculo de \sqrt[n]{|a_n|}. Primeiro simplifico |a_n|:
|a_n|=\frac{4^{2n+1}}{n^{2n}}=4\cdot\frac{4^{2n}}{n^{2n}}=4\cdot\frac{(4^{2})^{n}}{n^{2n}}=4\cdot\frac{16^{n}}{n^{2n}}.
Escrevendo de forma a separar a potência em n:
|a_n|=4\cdot\left(\frac{16}{n^{2}}\right)^{n}.
Agora aplico a raiz n-ésima:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{4}\cdot\frac{16}{n^{2}}=4^{1/n}\cdot\frac{16}{n^{2}}.

Passo 5

Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. Observações:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}4^{1/n}=1 porque a raiz n-ésima de uma constante positiva tende a 1.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{16}{n^{2}}=0.
    Portanto, pelo produto,
L=\lim_{n\to\infty}4^{1/n}\cdot\frac{16}{n^{2}}=1\cdot 0=0.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Raiz:
  • Como L=0<1, o Teste da Raiz garante que a série \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{4^{2n+1}}{n^{2n}} converge.
  • Logo a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternada original.

Resposta

A série é alternada e converge absolutamente; portanto, converge.

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