Determine a série de Taylor para a função
centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver a função
em série de Taylor centrada em
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto de expansão (centro):
. - Objetivo: obter a série em potências de
(ou seja, escrever como ).
Passo 2
Lembrete (fórmula de Taylor): se
é infinitamente diferenciável em torno de
, sua série de Taylor centrada em
é
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Explicando: para montar a série precisamos calcular as derivadas de , avaliá‑las em
e dividir por
para cada termo.
Explicando: para montar a série precisamos calcular as derivadas de
Passo 3
Calcular as derivadas e observar o padrão. As primeiras derivadas de
são:
e o ciclo se repete com período
. Uma forma compacta é
Explicando a fórmula: derivar
desloca a função entre
e
e troca sinais, o que equivale a somar
ao argumento a cada derivada.
Passo 4
Avaliar as derivadas em
. Primeiro calculemos os valores básicos:
Usando a forma geral,
Listando os quatro primeiros (e lembrando que repetem a cada 4):
e essa sequência
repete para
maiores.
Passo 5
Escrever uma fórmula fechada para os coeficientes conforme
par ou ímpar. Seja
. Para
(par):
Para
(ímpar):
Justificativa curta: verifica-se a alternância de sinais a cada derivada e a repetição a cada 4 derivadas; estas fórmulas reproduzem a sequência listada no passo anterior.
Passo 6
Substituir na fórmula de Taylor. Para
e
obtemos a série em termos de
. Substituindo os coeficientes:
Com
e
isso vira
Uma forma mais compacta, colocando o fator comum
e agrupando, é
Passo 7
Mostrar os primeiros termos explícitos para dar intuição. Usando a expressão anterior e desenvolvendo alguns
:
onde
. Isto mostra o padrão de sinais e potências.
Passo 8
Observação sobre convergência:
é uma função inteira (analítica em todo
), logo a série de Taylor em torno de qualquer ponto converge para
para todo
. Uma forma de ver isso é usar o resto de Lagrange e o fato de que todas as derivadas de
são limitadas em magnitude por
, de onde o resto tende a zero quando a ordem cresce.
Passo 9
Forma alternativa e muito compacta (válida e direta): usar a expressão com derivadas gerais já observada:
Esta expressão é equivalente à série desenvolvida acima e é útil para escrever rapidamente o coeficiente genérico.