Determine a série de Taylor para a função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos (\mathrm{x}) centrada em \pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede: desenvolver a função \mathrm{f}(x)=\cos(x) em série de Taylor centrada em a=\pi/4.
Informações dadas:
  • Função: \mathrm{f}(x)=\cos(x).
  • Ponto de expansão (centro): a=\pi/4.
  • Objetivo: obter a série em potências de x-\pi/4 (ou seja, escrever \cos(x) como \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-\pi/4)^n).

Passo 2

Lembrete (fórmula de Taylor): se f é infinitamente diferenciável em torno de a, sua série de Taylor centrada em a é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n,
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a.
Explicando: para montar a série precisamos calcular as derivadas de \cos(x), avaliá‑las em a=\pi/4 e dividir por n! para cada termo.

Passo 3

Calcular as derivadas e observar o padrão. As primeiras derivadas de f(x)=\cos(x) são:
\begin{aligned} f(x) &= \cos(x),\\\ f'(x) &= -\sin(x),\\\ f''(x) &= -\cos(x),\\\ f^{(3)}(x) &= \sin(x),\\\ f^{(4)}(x) &= \cos(x), \end{aligned}
e o ciclo se repete com período 4. Uma forma compacta é
f^{(n)}(x)=\cos\!\left(x+\frac{n\pi}{2}\right).
Explicando a fórmula: derivar \cos desloca a função entre \cos e \sin e troca sinais, o que equivale a somar \tfrac{\pi}{2} ao argumento a cada derivada.

Passo 4

Avaliar as derivadas em a=\pi/4. Primeiro calculemos os valores básicos:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Usando a forma geral,
f^{(n)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\right).
Listando os quatro primeiros (e lembrando que repetem a cada 4):
\begin{aligned} f^{(0)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\\\ f^{(1)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\\ f^{(2)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\\\ f^{(3)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \end{aligned}
e essa sequência \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2},\ldots repete para n maiores.

Passo 5

Escrever uma fórmula fechada para os coeficientes conforme n par ou ímpar. Seja s=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Para n=2k (par):
f^{(2k)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=s\;(-1)^k.
Para n=2k+1 (ímpar):
f^{(2k+1)}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=s\;(-1)^{k+1}.
Justificativa curta: verifica-se a alternância de sinais a cada derivada e a repetição a cada 4 derivadas; estas fórmulas reproduzem a sequência listada no passo anterior.

Passo 6

Substituir na fórmula de Taylor. Para n=2k e n=2k+1 obtemos a série em termos de k. Substituindo os coeficientes:
\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(a)}{(2k)!}(x-a)^{2k}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k+1)}(a)}{(2k+1)!}(x-a)^{2k+1}.
Com a=\pi/4 e s=\dfrac{\sqrt{2}}{2} isso vira
\cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{s(-1)^k}{(2k)!}(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k}+\frac{s(-1)^{k+1}}{(2k+1)!}(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k+1}\right].
Uma forma mais compacta, colocando o fator comum s e agrupando, é
\cos(x)=s\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\left[\frac{(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k}}{(2k)!}-\frac{(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k+1}}{(2k+1)!}\right].

Passo 7

Mostrar os primeiros termos explícitos para dar intuição. Usando a expressão anterior e desenvolvendo alguns k:
\begin{aligned} \cos(x)=\; &s - s(x-\tfrac{\pi}{4}) - \frac{s}{2}(x-\tfrac{\pi}{4})^{2} + \frac{s}{6}(x-\tfrac{\pi}{4})^{3} \\\ &+ \frac{s}{24}(x-\tfrac{\pi}{4})^{4} - \frac{s}{120}(x-\tfrac{\pi}{4})^{5} + \cdots, \end{aligned}
onde s=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Isto mostra o padrão de sinais e potências.

Passo 8

Observação sobre convergência: \cos(x) é uma função inteira (analítica em todo \mathbb{R}), logo a série de Taylor em torno de qualquer ponto converge para \cos(x) para todo x. Uma forma de ver isso é usar o resto de Lagrange e o fato de que todas as derivadas de \cos são limitadas em magnitude por 1, de onde o resto tende a zero quando a ordem cresce.

Passo 9

Forma alternativa e muito compacta (válida e direta): usar a expressão com derivadas gerais já observada:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n!}(x-\tfrac{\pi}{4})^n.
Esta expressão é equivalente à série desenvolvida acima e é útil para escrever rapidamente o coeficiente genérico.

Resposta

\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\left[\frac{(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k}}{(2k)!}-\frac{(x-\tfrac{\pi}{4})^{2k+1}}{(2k+1)!}\right].

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