Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n} \cos \left(\frac{n \pi}{L} x\right)+b_{n} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi}{L} x\right)\right] ?
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(a) f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos (15 x), \quad-\pi \leq x \leq \pi;

Passo 1

O enunciado pede: obter a série de Fourier de f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos(15x) no intervalo -\pi\le x\le\pi sem calcular integrais. Informações dadas e o que precisamos retornar:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos(15x) definida em -\pi\le x\le\pi.
  • Queremos os coeficientes da série de Fourier (isto é, a expansão na forma
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)+b_{n}\operatorname{sen}\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\right]
) correspondente a esse f.
  • Não podemos (nem precisamos) calcular integrais — em vez disso, devemos identificar os coeficientes a partir da forma já dada da função.

Passo 2

Preparando o terreno (repetindo coisas importantes de forma simples e intuitiva).
  • O intervalo é -\pi\le x\le\pi. Para a série padrão em [-L,L] usamos L=\pi. Assim os modos têm argumento \dfrac{n\pi}{L}x=\dfrac{n\pi}{\pi}x=n x. Logo a base é \{\cos(nx),\\ \operatorname{sen}(nx)\}_{n\ge1}.
  • Regra prática (que vem das fórmulas habituais de Fourier): se uma função já está escrita como soma finita
p(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{N}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname{sen}(nx)\right],
então os coeficientes da sua série de Fourier na base \{\cos(nx),\operatorname{sen}(nx)\} são exatamente aqueles a_0,a_n,b_n que aparecem na soma. Ou seja, não é preciso integrar — basta identificar os coeficientes correspondentes aos termos \cos(nx) e \operatorname{sen}(nx).
  • Por que isso vale? De forma curta e intuitiva: as funções \cos(nx) e \operatorname{sen}(mx) são linearmente independentes e ortogonais; a série de Fourier é única, então se f já é uma soma finita dessa base, os coeficientes são os que aparecem. (Não precisa decorar isto; basta entender que corresponde a “comparar termos semelhantes”.)

Passo 3

Aplicando a identificação direta ao nosso f(x).
  • Escrevemos o que já temos numa forma compatível com a soma padrão:
f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos(15x).
Compare com
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname{sen}(nx)\right].
  • Identificação termo a termo:
    • Não há termo constante, logo \dfrac{a_{0}}{2}=0 e portanto a_{0}=0.
    • Há um termo \operatorname{sen}(x), que corresponde a b_{1}\operatorname{sen}(1\cdot x). Assim b_{1}=1.
    • Não há outros senos, logo b_{n}=0 para todo n\ne1.
    • Há um termo -\cos(15x), que corresponde a a_{15}\cos(15x). Assim a_{15}=-1.
    • Não há outros cossenos, então a_{n}=0 para todo n\ne15.
  • Resumindo os coeficientes identificados:
    • a_{0}=0.
    • a_{15}=-1, e a_{n}=0 para n\ne15.
    • b_{1}=1, e b_{n}=0 para n\ne1.

Passo 4

Escrevendo a série de Fourier explicitamente (forma padrão, mostrando os coeficientes).
  • A série de Fourier de f na base com L=\pi é
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\operatorname{sen}(nx)\right].
Substituindo os coeficientes encontrados:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\operatorname{sen}(nx) =-\cos(15x)+\operatorname{sen}(x).
Isto é exatamente a expressão inicial, mostrada agora como série de Fourier (com todos os demais coeficientes nulos).

Passo 5

Observações finais rápidas e motivação para a prova (dica amiga).
  • Em provas, sempre que uma função já estiver escrita como soma de cossenos e senos da forma \cos(nx), \operatorname{sen}(nx) use a identificação direta dos coeficientes — isso evita calcular integrais desnecessárias e economiza tempo.
  • Se quiser justificar formalmente em prova, diga que a base é ortogonal e que a expansão é única; portanto os coeficientes são os que aparecem na soma finita.

Resposta

a_{0}=0,\quad a_{15}=-1,\quad a_{n}=0\\ \text{para }n\ne15,
b_{1}=1,\quad b_{n}=0\\ \text{para }n\ne1.
\text{Série de Fourier: } \; f(x)=-\cos(15x)+\operatorname{sen}(x).é

Exercícios relacionados