Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
Utilize as fórmulas da questão anterior.
(a)
;
Sugestão: Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
(a)
Passo 1
O enunciado pede: obter a série de Fourier de
no intervalo
sem calcular integrais. Informações dadas e o que precisamos retornar:
- A função é
definida em . - Queremos os coeficientes da série de Fourier (isto é, a expansão na forma
) correspondente a esse
.
- Não podemos (nem precisamos) calcular integrais — em vez disso, devemos identificar os coeficientes a partir da forma já dada da função.
Passo 2
Preparando o terreno (repetindo coisas importantes de forma simples e intuitiva).
- O intervalo é
. Para a série padrão em usamos . Assim os modos têm argumento . Logo a base é . - Regra prática (que vem das fórmulas habituais de Fourier): se uma função já está escrita como soma finita
então os coeficientes da sua série de Fourier na base
são exatamente aqueles
que aparecem na soma. Ou seja, não é preciso integrar — basta identificar os coeficientes correspondentes aos termos
e
.
- Por que isso vale? De forma curta e intuitiva: as funções
e são linearmente independentes e ortogonais; a série de Fourier é única, então se já é uma soma finita dessa base, os coeficientes são os que aparecem. (Não precisa decorar isto; basta entender que corresponde a “comparar termos semelhantes”.)
Passo 3
Aplicando a identificação direta ao nosso
.
- Escrevemos o que já temos numa forma compatível com a soma padrão:
Compare com
- Identificação termo a termo:
- Não há termo constante, logo
e portanto . - Há um termo
, que corresponde a . Assim . - Não há outros senos, logo
para todo . - Há um termo
, que corresponde a . Assim . - Não há outros cossenos, então
para todo .
- Não há termo constante, logo
- Resumindo os coeficientes identificados:
-
. -
, e para . -
, e para .
-
Passo 4
Escrevendo a série de Fourier explicitamente (forma padrão, mostrando os coeficientes).
- A série de Fourier de
na base com é
Substituindo os coeficientes encontrados:
Isto é exatamente a expressão inicial, mostrada agora como série de Fourier (com todos os demais coeficientes nulos).
Passo 5
Observações finais rápidas e motivação para a prova (dica amiga).
- Em provas, sempre que uma função já estiver escrita como soma de cossenos e senos da forma
, use a identificação direta dos coeficientes — isso evita calcular integrais desnecessárias e economiza tempo. - Se quiser justificar formalmente em prova, diga que a base é ortogonal e que a expansão é única; portanto os coeficientes são os que aparecem na soma finita.