Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [-\pi, \pi].
(c) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \frac{1}{2} \pi<x \leq \pi ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.;
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica (no intervalo fundamental [- \pi,\pi]) definida por partes:
f(x)=1 para \tfrac{1}{2}\pi < x \le \pi.
f(x)=0 para os demais x em [- \pi,\pi] (ou seja, para -\pi \le x \le \tfrac{1}{2}\pi, com a convenção dada).
O que é pedido: obter a série de Fourier de f na base trigonométrica em [- \pi,\pi]. Em outras palavras, encontrar a_0, a_n e b_n tais que
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} no intervalo [- \pi,\pi]. As integrais projetam f nessas direções (coeficientes da base).
Como f(x)=0 em todo o intervalo exceto \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right], todas as integrais sobre [- \pi,\pi] reduzem-se a integrais sobre \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right] com integrando igual a 1 (ou 1 vezes trigonométrica).
Se preferir, pode-se substituir as fórmulas de a_n e b_n por suas expressões por classes modulares (conforme Passos 5 e 7) para obter uma escrita com termos separados para n pares e ímpares.
Passo 9
Observações finais (úteis para a prova):
A série de Fourier converge, em pontos de continuidade de f, ao valor f(x) e, em pontos de descontinuidade, ao valor médio dos limites laterais (teorema clássico). Neste problema a função tem descontinuidade em x=\tfrac{\pi}{2} e em equivalentes pelo período; a série ali converge para \tfrac{1}{2} (média entre 0 e 1).
As expressões obtidas para a_n e b_n são fáceis de calcular manualmente para pequenos n usando as tabelas de \sin e \cos de múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.