Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [-\pi, \pi].
(c) f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \frac{1}{2} \pi<x \leq \pi ; \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á;

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica (no intervalo fundamental [- \pi,\pi]) definida por partes:
  • f(x)=1 para \tfrac{1}{2}\pi < x \le \pi.
  • f(x)=0 para os demais x em [- \pi,\pi] (ou seja, para -\pi \le x \le \tfrac{1}{2}\pi, com a convenção dada).
O que é pedido: obter a série de Fourier de f na base trigonométrica em [- \pi,\pi]. Em outras palavras, encontrar a_0, a_n e b_n tais que
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A parte não nula de f está no subintervalo \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
  • Para calcular coeficientes, usaremos integrais sobre [- \pi,\pi] mas só a região \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right] contribui (lá f=1; no resto f=0).

Passo 2

Lembrete das fórmulas de Fourier (explicando o que cada coisa significa):
  • a_0 é a média (escala) da função no período:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.
Aqui a integral soma o valor de f no período e divide por \pi para normalizar (a constante na série será a_0/2).
  • Para n\ge 1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Essas fórmulas vêm da ortogonalidade das funções \{1,\cos(nx),\sin(nx)\} no intervalo [- \pi,\pi]. As integrais projetam f nessas direções (coeficientes da base).
Como f(x)=0 em todo o intervalo exceto \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right], todas as integrais sobre [- \pi,\pi] reduzem-se a integrais sobre \left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right] com integrando igual a 1 (ou 1 vezes trigonométrica).

Passo 3

Calcular a_0. Usando a definição:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}1\,dx.
Avalia a integral:
\int_{\pi/2}^{\pi}1\,dx=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto o termo constante na série será \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{4}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge 1. Usando a redução de domínio:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Integramos \cos(nx):
\int \cos(nx)\,dx=\frac{\sin(nx)}{n}.
Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{x=\pi/2}^{x=\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(n\pi)-\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n}.
Usamos que \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Assim
a_n=-\frac{1}{\pi n}\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right).

Passo 5

Interpretar e simplificar [a_n) dependendo de n módulo 4. A função \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right) toma valores periódicos:
  • Se n=4k então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=0.
  • Se n=4k+1 então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=1.
  • Se n=4k+2 então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=0.
  • Se n=4k+3 então \sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=-1.
Portanto
a_n=\begin{cases} 0, & n\equiv 0\pmod{2},\\[4pt] -\dfrac{1}{\pi n}, & n\equiv 1\pmod{4},\\[6pt] \dfrac{1}{\pi n}, & n\equiv 3\pmod{4}. \end{cases}
(Isto mostra que a_n\] é zero para todo \(n par e alterna em sinal para ímpares conforme n módulo 4.)]

Passo 6

Calcular b_n para n\ge 1. Novamente reduzimos o domínio:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
A primitiva de \sin(nx) é -\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
b_n=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{x=\pi/2}^{x=\pi} =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{-\cos(n\pi)+\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{n}.
Rearranjando,
b_n=\frac{1}{\pi n}\Bigl(\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-\cos(n\pi)\Bigr).
Usamos que \cos(n\pi)=(-1)^n, então
b_n=\frac{1}{\pi n}\Bigl(\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n\Bigr).

Passo 7

Simplificar b_n por classes modulares:
  • Se n\equiv 0\pmod{4}: \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=1 e (-1)^n=1 então b_n=0.
  • Se n\equiv 1\pmod{2} (n ímpar): \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=0 e (-1)^n=-1, logo
b_n=\frac{1}{\pi n}\bigl(0-(-1)\bigr)=\frac{1}{\pi n}\quad\text{para \(n\) ímpar.}í
  • Se n\equiv 2\pmod{4}: \cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)=-1 e (-1)^n=1, logo
b_n=\frac{1}{\pi n}(-1-1)=-\frac{2}{\pi n}\quad\text{para }n\equiv 2\pmod{4}.
Resumo prático:
b_n=\begin{cases} 0, & n\equiv 0\pmod{4},\\[4pt] \dfrac{1}{\pi n}, & n\text{ ímpar},\\[6pt] -\dfrac{2}{\pi n}, & n\equiv 2\pmod{4}. \end{cases}í]

Passo 8

Escrever a série de Fourier completa. Usando as expressões gerais encontradas para a_0,a_n,b_n, uma forma compacta é:
f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx) +\frac{\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n}{\pi n}\sin(nx)\right).
Se preferir, pode-se substituir as fórmulas de a_n e b_n por suas expressões por classes modulares (conforme Passos 5 e 7) para obter uma escrita com termos separados para n pares e ímpares.

Passo 9

Observações finais (úteis para a prova):
  • A série de Fourier converge, em pontos de continuidade de f, ao valor f(x) e, em pontos de descontinuidade, ao valor médio dos limites laterais (teorema clássico). Neste problema a função tem descontinuidade em x=\tfrac{\pi}{2} e em equivalentes pelo período; a série ali converge para \tfrac{1}{2} (média entre 0 e 1).
  • As expressões obtidas para a_n e b_n são fáceis de calcular manualmente para pequenos n usando as tabelas de \sin e \cos de múltiplos de \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

f(x)\sim \frac{1}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)}{\pi n}\cos(nx) +\frac{\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)-(-1)^n}{\pi n}\sin(nx)\right).

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