Obtenha a solução geral da equação diferencial dy/dx=2yx:
y=kln(x2), k real
y=2ex2+k, k real
y=kex2, k real
y=x2+k, k real
y=sen(x2)+k, k real

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dydx = 2yx. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações separáveis. Para resolver, vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que as variáveis y e x fiquem separadas em lados opostos da igualdade. Temos:
dydx = 2yx
Podemos rearranjar para:
dyy = 2x , dx
Aqui, dividimos ambos os lados por y para isolar dyy de um lado e 2x,dx do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integração de dyy em relação a y é:
integral 1y , dy = ln|y|
E a integração de 2x , dx em relação a x é:
integral 2x , dx = x^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Após integrar, a gente tem:
ln|y| = x^2 + C
Para resolver para y, vamos aplicar a função exponencial dos dois lados da equação:
y = e^x^2 + C = e^x^2 cdot e^C
Como e^C é só uma constante, podemos chamar de k (onde k é real). Então:
y = k e^x^2

Resposta

y = k e^x^2, k real

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