obtenha a solução geral para a equação.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve derivada primeira
e funções trigonométricas de . - Objetivo: encontrar a solução geral
, com constante arbitrária de integração.
Passo 2
Reconhecer a forma da equação e o método a usar.
Escrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde, neste problema,
Para equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante
, que transforma o lado esquerdo numa derivada total do produto
. Vou explicar e aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Definição e cálculo do fator integrante.
O fator integrante é definido por
Calculamos a integral de
. Uma forma rápida é lembrar que
e usar a substituição
,
. Assim
Portanto (desprezando a constante aditiva no expoente, que só muda
por um fator multiplicativo):
Em intervalos onde
podemos escolher
já que
(escolha do sinal/valor absoluto fica implícita ao fixar o intervalo).
Passo 4
Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada total.
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para verificar, usamos a regra do produto:
E como
, temos
que coincide com o lado esquerdo após multiplicar pelo fator integrante. Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados e obter uma relação entre
e
.
Integramos em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. O lado direito é uma integral conhecida: a derivada de
é
, portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
e simplificar a solução (manipulação algébrica e identidades trigonométricas).
A partir de
multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que estamos em intervalos onde
) para isolar
:
Usando
obtemos a forma mais simples
com
constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação.