obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d r}{d \theta}+r \operatorname{tg} \theta=\operatorname{sec} \theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
\frac{dr}{d\theta}+r\operatorname{tg}\theta=\operatorname{sec}\theta.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função r(\theta).
  • A equação envolve derivada primeira \dfrac{dr}{d\theta} e funções trigonométricas de \theta.
  • Objetivo: encontrar a solução geral r(\theta), com constante arbitrária de integração.

Passo 2

Reconhecer a forma da equação e o método a usar.
Escrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{dr}{d\theta}+P(\theta)\,r=Q(\theta),
onde, neste problema,
P(\theta)=\tan\theta,\qquad Q(\theta)=\operatorname{sec}\theta.
Para equações lineares de primeira ordem usa-se o fator integrante \mu(\theta), que transforma o lado esquerdo numa derivada total do produto \mu(\theta)r(\theta). Vou explicar e aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Definição e cálculo do fator integrante.
O fator integrante é definido por
\mu(\theta)=\exp\!\left(\int P(\theta)\,d\theta\right)=\exp\!\left(\int \tan\theta\,d\theta\right).
Calculamos a integral de \tan\theta. Uma forma rápida é lembrar que \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e usar a substituição u=\cos\theta, du=-\sin\theta\,d\theta. Assim
\int \tan\theta\,d\theta=\int \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\,d\theta=-\int\frac{du}{u}=-\ln|u|+C=-\ln|\cos\theta|+C.
Portanto (desprezando a constante aditiva no expoente, que só muda \mu por um fator multiplicativo):
\mu(\theta)=\exp\!\big(-\ln|\cos\theta|\big)=\frac{1}{|\cos\theta|}.
Em intervalos onde \cos\theta\neq0 podemos escolher
\mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta,
já que \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta} (escolha do sinal/valor absoluto fica implícita ao fixar o intervalo).

Passo 4

Multiplicar a equação pelo fator integrante e reconhecer a derivada total.
Multiplicando a equação original por \mu(\theta)=\operatorname{sec}\theta obtemos
\operatorname{sec}\theta\frac{dr}{d\theta}+r\operatorname{sec}\theta\tan\theta=\operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}\theta=\operatorname{sec}^2\theta.
Agora observamos que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto r(\theta)\operatorname{sec}\theta. Para verificar, usamos a regra do produto:
\frac{d}{d\theta}\big(r\operatorname{sec}\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\frac{dr}{d\theta}+r\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta).
E como \dfrac{d}{d\theta}(\operatorname{sec}\theta)=\operatorname{sec}\theta\tan\theta, temos
\frac{d}{d\theta}\big(r\operatorname{sec}\theta\big)=\operatorname{sec}\theta\frac{dr}{d\theta}+r\operatorname{sec}\theta\tan\theta,
que coincide com o lado esquerdo após multiplicar pelo fator integrante. Portanto a equação fica
\frac{d}{d\theta}\big(r\operatorname{sec}\theta\big)=\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 5

Integrar ambos os lados e obter uma relação entre r e \theta.
Integramos em relação a \theta:
\int \frac{d}{d\theta}\big(r\operatorname{sec}\theta\big)\,d\theta=\int \operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
O lado esquerdo integra diretamente para r\operatorname{sec}\theta. O lado direito é uma integral conhecida: a derivada de \tan\theta é \operatorname{sec}^2\theta, portanto
r\operatorname{sec}\theta=\tan\theta+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar r(\theta) e simplificar a solução (manipulação algébrica e identidades trigonométricas).
A partir de
r\operatorname{sec}\theta=\tan\theta+C,
multiplicamos ambos os lados por \cos\theta (lembrando que estamos em intervalos onde \cos\theta\neq0) para isolar r:
r=\cos\theta\big(\tan\theta+C\big).
Usando \cos\theta\tan\theta=\sin\theta obtemos a forma mais simples
r(\theta)=\sin\theta+C\cos\theta,
com C constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação.

Resposta

r(\theta)=\sin\theta+C\cos\theta, C\in\mathbb{R}

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