obtenha a solução geral para a equação.
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é escrita em diferenciais
e . - O objetivo é encontrar
em função de (solução geral), com constante arbitrária de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma diferencial usual (derivada explícita). Reescrevendo a equação:
Dividindo por
(assumindo
variável independente) obtemos a forma de equação diferencial ordinária:
Agora escrevemos no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui a incógnita é
. Não se assuste: isso é uma equação linear da forma
com
e
.
Passo 3
Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Explico o porquê e a ideia:
- Para uma equação linear
, multiplica-se por uma função tal que o lado esquerdo vire a derivada de . Essa é chamada fator integrante e é dada por
No nosso caso
, portanto
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Fazendo isso:
Agora explico a identidade usada: a derivada do produto
é
exatamente o lado esquerdo da equação após multiplicar pelo fator integrante. Assim podemos reescrever a equação como
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Calculamos a integral com calma:
Calcule primeiro
por partes. Escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
:
Mas
. Substituindo:
Agora some a outra parcela:
(Obs.: sempre adiciona-se uma constante, mas vamos reunir tudo em uma única constante
.)
Portanto
Passo 6
Isolando
, multiplicamos por
:
Podemos reescrever a constante
como qualquer constante real, por exemplo
. Assim a solução geral é
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução para checar que satisfaz a equação original.
Agora calcule
com a solução:
Como
fica
, a igualdade é satisfeita. Pronto — solução verificada.
Passo 8
Dica final para a prova: quando ver uma ODE do tipo
lembre-se que é linear; coloque na forma
, calcule
, multiplique e integre. Se aparecer uma integral como
, use partes escolhendo
(sempre que tiver um polinômio multiplicando uma exponencial).