obtenha a solução geral para a equação.
(t+y+1) d t-d y=0

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
(t+y+1)\,dt - dy = 0.
Informações dadas:
  • A equação é escrita em diferenciais dt e dy.
  • O objetivo é encontrar y em função de t (solução geral), com constante arbitrária de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação em uma forma diferencial usual (derivada explícita). Reescrevendo a equação:
(t+y+1)\,dt = dy.
Dividindo por dt (assumindo t variável independente) obtemos a forma de equação diferencial ordinária:
\frac{dy}{dt} = t + y + 1.
Agora escrevemos no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dt} - y = t + 1.
Aqui a incógnita é y(t). Não se assuste: isso é uma equação linear da forma
\frac{dy}{dt} + P(t)\,y = Q(t),
com P(t) = -1 e Q(t)=t+1.

Passo 3

Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Explico o porquê e a ideia:
  • Para uma equação linear \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t), multiplica-se por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)y. Essa \mu(t) é chamada fator integrante e é dada por
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
No nosso caso P(t)=-1, portanto
\mu(t)=\exp\!\left(\int -1\,dt\right)=\exp(-t)=e^{-t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(t)=e^{-t}. Fazendo isso:
e^{-t}\frac{dy}{dt} - e^{-t}y = (t+1)e^{-t}.
Agora explico a identidade usada: a derivada do produto e^{-t}y é
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big)=e^{-t}\frac{dy}{dt} + \frac{d}{dt}(e^{-t})\cdot y = e^{-t}\frac{dy}{dt} - e^{-t}y,
exatamente o lado esquerdo da equação após multiplicar pelo fator integrante. Assim podemos reescrever a equação como
\frac{d}{dt}\big(e^{-t}y\big) = (t+1)e^{-t}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
e^{-t}y = \int (t+1)e^{-t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Calculamos a integral com calma:
\int (t+1)e^{-t}\,dt = \int t e^{-t}\,dt + \int e^{-t}\,dt.
Calcule primeiro \int t e^{-t}\,dt por partes. Escolha u=t e dv=e^{-t}dt. Então du=dt e v=-e^{-t}. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt.
Mas \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}. Substituindo:
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} = -(t+1)e^{-t}.
Agora some a outra parcela:
\int (t+1)e^{-t}\,dt = -(t+1)e^{-t} + \left(-e^{-t}\right) = -(t+2)e^{-t}.
(Obs.: sempre adiciona-se uma constante, mas vamos reunir tudo em uma única constante C.)
Portanto
e^{-t}y = -(t+2)e^{-t} + C.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por e^{t}:
y = -(t+2) + C e^{t}.
Podemos reescrever a constante C como qualquer constante real, por exemplo C\in\mathbb{R}. Assim a solução geral é
y(t) = C e^{t} - t - 2.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução para checar que satisfaz a equação original.
\frac{dy}{dt} = C e^{t} - 1.
Agora calcule t + y + 1 com a solução:
t + y + 1 = t + (C e^{t} - t - 2) + 1 = C e^{t} - 1.
Como \dfrac{dy}{dt}=t+y+1 fica C e^{t}-1 = C e^{t}-1, a igualdade é satisfeita. Pronto — solução verificada.

Passo 8

Dica final para a prova: quando ver uma ODE do tipo \dfrac{dy}{dt}=a(t)+b(t)y lembre-se que é linear; coloque na forma \dfrac{dy}{dt}+P(t)y=Q(t), calcule \mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}, multiplique e integre. Se aparecer uma integral como \int t e^{-t}\,dt, use partes escolhendo u=t (sempre que tiver um polinômio multiplicando uma exponencial).

Resposta

y(t)=C e^{t}-t-2,\qquad C\in\mathbb{R}

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