determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a equação
é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas.
Informações dadas: a equação diferencial é de primeira ordem com incógnita e independente
. Não há outras condições iniciais.
Informações dadas: a equação diferencial é de primeira ordem com incógnita
Passo 2
Definição e teste para ser separável.
Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
ou seja, o lado direito é produto de uma função só de
por uma função só de
.
Vou isolar
a partir da equação dada (dividindo por
, assumindo
):
O lado direito é a soma de dois termos:
e
. Para ser separável precisamos escrever esse lado como um único produto
. Aqui temos um termo que é produto
(que é da forma
) e outro termo
que depende só de
. A soma de um termo puramente do tipo
com um termo que é função só de
em geral não é reescrevível como um produto
, salvo casos degenerados (por exemplo se um dos termos for identicamente zero). Como não há indicação de tal degenerescência no enunciado, a equação não é separável no sentido usual.
Passo 3
Definição e teste para ser linear.
Uma EDO de primeira ordem é linear quando pode ser posta na forma
Uma EDO de primeira ordem é linear quando pode ser posta na forma
onde
e
são funções apenas de
. Essa forma exige que
e
apareçam de maneira linear (sem termos não lineares como
,
, etc.).
Volto à forma já isolada:
Para escrever na forma linear precisaríamos que o membro direito fosse uma função só de
; porém aqui o membro direito
depende de
(aparece
). Portanto a equação não se ajusta à forma linear padrão porque há uma dependência não linear em
. Assim, não é uma EDO linear.
Passo 4
Conclusão sobre as duas propriedades.
- Já estabeleci que não é separável (Passo 2).
- Já estabeleci que não é linear (Passo 3).
Logo a equação não é nem separável nem linear (salvo casos degenerados excepcionais não mencionados no enunciado, que não devem ser considerados para a classificação geral).
Resposta
nenhuma