determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
x \frac{d x}{d t}+t^{2} x=\operatorname{sen} t

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a equação
x\frac{dx}{dt}+t^{2}x=\sin t
é (a) separável, (b) linear, (c) nenhuma das anteriores, ou (d) ambas.
Informações dadas: a equação diferencial é de primeira ordem com incógnita x(t) e independente t. Não há outras condições iniciais.

Passo 2

Definição e teste para ser separável.
Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
\frac{dx}{dt}=f(t)\,g(x),
ou seja, o lado direito é produto de uma função só de t por uma função só de x.
Vou isolar \dfrac{dx}{dt} a partir da equação dada (dividindo por x, assumindo x\neq 0):
\frac{dx}{dt}=\frac{\sin t}{x}-t^{2}.
O lado direito é a soma de dois termos: \dfrac{\sin t}{x} e -t^{2}. Para ser separável precisamos escrever esse lado como um único produto f(t)g(x). Aqui temos um termo que é produto \sin t\cdot\frac{1}{x} (que é da forma f(t)g(x)) e outro termo -t^{2} que depende só de t. A soma de um termo puramente do tipo f(t)g(x) com um termo que é função só de t em geral não é reescrevível como um produto f(t)g(x), salvo casos degenerados (por exemplo se um dos termos for identicamente zero). Como não há indicação de tal degenerescência no enunciado, a equação não é separável no sentido usual.

Passo 3

Definição e teste para ser linear.
Uma EDO de primeira ordem é linear quando pode ser posta na forma
\frac{dx}{dt}+p(t)\,x=q(t),
onde p e q são funções apenas de t. Essa forma exige que x e \dfrac{dx}{dt} apareçam de maneira linear (sem termos não lineares como 1/x, x^{2}, etc.).
Volto à forma já isolada:
\frac{dx}{dt}+t^{2}=\frac{\sin t}{x}.
Para escrever na forma linear precisaríamos que o membro direito fosse uma função só de t; porém aqui o membro direito \dfrac{\sin t}{x} depende de x (aparece 1/x). Portanto a equação não se ajusta à forma linear padrão porque há uma dependência não linear em x. Assim, não é uma EDO linear.

Passo 4

Conclusão sobre as duas propriedades.
  • Já estabeleci que não é separável (Passo 2).
  • Já estabeleci que não é linear (Passo 3).
    Logo a equação não é nem separável nem linear (salvo casos degenerados excepcionais não mencionados no enunciado, que não devem ser considerados para a classificação geral).

Resposta

nenhuma

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