Obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d y}{d x}=x^{2} e^{-4 x}-4 y

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x^{2}e^{-4x}-4y.
  • A tarefa é obter a solução geral y(x), isto é, a família de todas as soluções que satisfazem essa equação (contendo uma constante arbitrária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com y e com uma função explícita de x.
  • Não há condições iniciais fornecidas, portanto a resposta deve conter uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação em forma padrão e escolher o método:
  • Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (colocando o termo com y do outro lado):
\frac{d y}{d x}+4y = x^{2}e^{-4x}.
  • Aqui o coeficiente do termo y é 4 e o termo independente é x^{2}e^{-4x}.
  • Método escolhido: fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto \mu(x)y. Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados.
  • O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int 4\,dx\right).
Calculemos esse integral: \int 4\,dx = 4x. Portanto
\mu(x)=e^{4x}.

Passo 3

Multiplicar pela fator integrante e reconhecer a derivada de produto:
  • Multiplicando toda a equação por \mu(x)=e^{4x} obtemos
e^{4x}\frac{d y}{d x}+4e^{4x}y = e^{4x}\cdot x^{2}e^{-4x}.
  • No lado direito, simplifica e^{4x}\cdot e^{-4x}=1, então o lado direito fica simplesmente x^{2}:
e^{4x}\frac{d y}{d x}+4e^{4x}y = x^{2}.
  • Agora use o produto notório: pela regra do produto, a derivada de e^{4x}y é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr) = e^{4x}\frac{dy}{dx} + \bigl(\frac{d}{dx}e^{4x}\bigr)y.
Como \dfrac{d}{dx}e^{4x}=4e^{4x}, isso coincide exatamente com o lado esquerdo acima. Logo podemos escrever
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr)=x^{2}.

Passo 4

Integrar e isolar y:
  • Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx.
  • O lado esquerdo integra para e^{4x}y. O lado direito é um integral simples de potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.
  • Portanto
e^{4x}y = \frac{x^{3}}{3} + C.
  • Finalmente, isolando y,
y(x) = e^{-4x}\left(\frac{x^{3}}{3} + C\right).
  • Podemos também escrever de forma expandida:
y(x) = \frac{1}{3}x^{3}e^{-4x} + C e^{-4x},
onde C é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Derivar a solução obtida e verificar que satisfaz a equação original.
  • Tome y(x)=\dfrac{x^{3}}{3}e^{-4x}+C e^{-4x}.
  • Aplicando a regra do produto e simplificando obtém-se
\frac{dy}{dx}=x^{2}e^{-4x}-4\left(\frac{x^{3}}{3}e^{-4x}+C e^{-4x}\right),
ou seja
\frac{dy}{dx}=x^{2}e^{-4x}-4y,
que é exatamente a equação original. Verificação concluída.

Resposta

y(x)=e^{-4x}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}+C\right)

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