Obtenha a solução geral para a equação.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a equação diferencial
- A tarefa é obter a solução geral
, isto é, a família de todas as soluções que satisfazem essa equação (contendo uma constante arbitrária).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação relaciona
com e com uma função explícita de . - Não há condições iniciais fornecidas, portanto a resposta deve conter uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação em forma padrão e escolher o método:
- Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (colocando o termo com
do outro lado):
- Aqui o coeficiente do termo
é e o termo independente é . - Método escolhido: fator integrante. A ideia do fator integrante é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada do produto . Isso facilita porque então basta integrar ambos os lados. - O fator integrante
é dado por
Calculemos esse integral:
. Portanto
Passo 3
Multiplicar pela fator integrante e reconhecer a derivada de produto:
- Multiplicando toda a equação por
obtemos
- No lado direito, simplifica
, então o lado direito fica simplesmente :
- Agora use o produto notório: pela regra do produto, a derivada de
é
Como
, isso coincide exatamente com o lado esquerdo acima. Logo podemos escrever
Passo 4
Integrar e isolar
:
- Integramos ambos os lados em relação a
:
- O lado esquerdo integra para
. O lado direito é um integral simples de potência:
onde
é a constante de integração.
- Portanto
- Finalmente, isolando
,
- Podemos também escrever de forma expandida:
onde
é uma constante arbitrária real. Essa é a solução geral.
Passo 5
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Derivar a solução obtida e verificar que satisfaz a equação original.
- Tome
. - Aplicando a regra do produto e simplificando obtém-se
ou seja
que é exatamente a equação original. Verificação concluída.