Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo de equação e a técnica a usar (a explicação aqui é passo a passo, como se estivéssemos juntos na prova). A equação tem a forma linear de primeira ordem
onde, comparando com a equação dada, temos
Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante
, definido por
A razão disso: multiplicando toda a equação por
a parte esquerda vira a derivada do produto
. Vou mostrar isso com calma nos passos seguintes.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
A condição inicial está em
(positivo), portanto podemos escolher
Nota rápida: o uso de
é para generalidade, mas como estamos interessados em uma vizinhança contendo
, fica
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Agora observe que a expressão da esquerda é exatamente a derivada de
. Para ver isso, calcule a derivada do quociente:
Portanto a equação multiplicada pode ser reescrita como
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, dando
. A integral do lado direito é
mais constante. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolando
obtemos a solução geral:
Isso é o conjunto de todas as soluções que satisfazem a equação diferencial sem condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Como
, igualamos:
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): calcular
para a solução encontrada e confirmar que satisfaz a equação.
Então
que coincide com o lado direito da equação original. Tudo certo.