Resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x}, \quad y(1)=e-1

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução:
  • Equação: \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{y}{x}=x e^{x}.
  • Condição inicial: y(1)=e-1.
    O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo de equação e a técnica a usar (a explicação aqui é passo a passo, como se estivéssemos juntos na prova). A equação tem a forma linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde, comparando com a equação dada, temos
P(x)=-\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x e^{x}.
Para equações lineares de primeira ordem usamos o fator integrante \mu(x), definido por
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
A razão disso: multiplicando toda a equação por \mu(x) a parte esquerda vira a derivada do produto \mu(x)y. Vou mostrar isso com calma nos passos seguintes.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int -\frac{1}{x}\,dx}=e^{-\ln|x|}= \frac{1}{|x|}.
A condição inicial está em x=1 (positivo), portanto podemos escolher
\mu(x)=\frac{1}{x}\quad\text{(para \(x>0\)).}
Nota rápida: o uso de |x| é para generalidade, mas como estamos interessados em uma vizinhança contendo x=1, fica \mu(x)=1/x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=1/x. Fazendo isso obtemos
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y = e^{x}.
Agora observe que a expressão da esquerda é exatamente a derivada de y/x. Para ver isso, calcule a derivada do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x^2}.
Portanto a equação multiplicada pode ser reescrita como
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)=e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\!\left(\frac{y}{x}\right)\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo elimina a derivada, dando \dfrac{y}{x}. A integral do lado direito é e^{x} mais constante. Assim
\frac{y}{x}=e^{x}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y obtemos a solução geral:
y(x)=x\bigl(e^{x}+C\bigr)=x e^{x}+C x.
Isso é o conjunto de todas as soluções que satisfazem a equação diferencial sem condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=e-1 para determinar C. Substituindo x=1:
y(1)=1\cdot e^{1}+C\cdot 1 = e + C.
Como y(1)=e-1, igualamos:
e + C = e - 1 \quad\Rightarrow\quad C = -1.

Passo 8

Substituindo C=-1 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=x e^{x} - x = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova para garantir que não houve erro): calcular \dfrac{dy}{dx} para a solução encontrada e confirmar que satisfaz a equação.
y(x)=x e^{x}-x\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=e^{x}+x e^{x}-1.
Então
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=\bigl(e^{x}+x e^{x}-1\bigr)-\bigl(e^{x}-1\bigr)=x e^{x},
que coincide com o lado direito da equação original. Tudo certo.

Resposta

y(x)=x\bigl(e^{x}-1\bigr)

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