Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial ordinária:
. - A condição inicial:
.
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão facilita a resolução. Reescrevendo:
Aqui a equação já está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
onde, no nosso caso,
(constante) e
.
Passo 3
Apresentar a ideia do fator integrante (explicação didática):
- Para resolver uma equação linear de primeira ordem, multiplica-se ambos os lados por um fator integrante
tal que a esquerda se torne a derivada de . - Esse fator é dado por
.
No nosso caso,
Passo 4
Multiplicar a equação por
. Fazendo a multiplicação:
Agora usar a regra do produto para reconhecer a esquerda como derivada: de fato,
Portanto a equação fica
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos a derivada direta e o exponencial do lado direito:
onde
é a constante de integração. Aqui usei a fórmula básica de integração
válida para
.
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Portanto a solução geral é
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial para determinar
. Substituir
e
:
Isolando
:
Passo 8
Substituir
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivar e substituir para checar. Derivando
dá
Calcular
:
portanto a equação
é satisfeita, confirmando a solução.