Resolva o problema de valor inicial.
\frac{d y}{d x}+4 y-e^{-x}=0, \quad y(0)=\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaz essa condição. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial ordinária: \dfrac{dy}{dx}+4y-e^{-x}=0.
  • A condição inicial: y(0)=\dfrac{4}{3}.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão facilita a resolução. Reescrevendo:
\frac{dy}{dx}+4y=e^{-x}.
Aqui a equação já está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x),
onde, no nosso caso, p(x)=4 (constante) e q(x)=e^{-x}.

Passo 3

Apresentar a ideia do fator integrante (explicação didática):
  • Para resolver uma equação linear de primeira ordem, multiplica-se ambos os lados por um fator integrante \mu(x) tal que a esquerda se torne a derivada de \mu(x)y.
  • Esse fator é dado por \mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
    No nosso caso,
\mu(x)=\exp\!\left(\int 4\,dx\right)=\exp(4x)=e^{4x}.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=e^{4x}. Fazendo a multiplicação:
e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y=e^{4x}e^{-x}.
Agora usar a regra do produto para reconhecer a esquerda como derivada: de fato,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr)=e^{4x}\frac{dy}{dx}+4e^{4x}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(e^{4x}y\bigr)=e^{4x}e^{-x}=e^{3x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos a derivada direta e o exponencial do lado direito:
e^{4x}y=\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui usei a fórmula básica de integração \int e^{ax}\,dx=\dfrac{1}{a}e^{ax} válida para a\neq0.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{4x}:
y=\frac{1}{3}e^{3x}e^{-4x}+C e^{-4x}=\frac{1}{3}e^{-x}+C e^{-4x}.
Portanto a solução geral é \displaystyle y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+C e^{-4x}.

Passo 7

Aplicar a condição inicial para determinar C. Substituir x=0 e y(0)=\dfrac{4}{3}:
y(0)=\frac{1}{3}e^{0}+C e^{0}=\frac{1}{3}+C=\frac{4}{3}.
Isolando C:
C=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}=1.

Passo 8

Substituir C=1 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivar e substituir para checar. Derivando \displaystyle y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{3}e^{-x}-4e^{-4x}.
Calcular \dfrac{dy}{dx}+4y:
\left(-\frac{1}{3}e^{-x}-4e^{-4x}\right)+4\left(\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}\right) =-\frac{1}{3}e^{-x}-4e^{-4x}+\frac{4}{3}e^{-x}+4e^{-4x} =\frac{3}{3}e^{-x}=e^{-x},
portanto a equação \dfrac{dy}{dx}+4y=e^{-x} é satisfeita, confirmando a solução.

Resposta

y(x)=\frac{1}{3}e^{-x}+e^{-4x}

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