Obtenha a solução geral da ED y'' + 4y' + 13y = 48.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada: . Para isso, assumimos soluções da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), fica:
Resolvemos essa equação quadrática para .

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como , as raízes são complexas e da forma .

Passo 5

Calculamos as raízes:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante: , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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