Obtenha a solução geral da ED
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
. Para isso, assumimos soluções da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), fica:
Resolvemos essa equação quadrática para
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como
, as raízes são complexas e da forma
.
Passo 5
Calculamos as raízes:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante, tentamos uma solução particular também constante:
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Substituindo
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: