Determine, simplificando ao máximo, a derivada de cada uma função a seguir. f(x) = arctg^2(x);

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a derivada da função . Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, mais especificamente à regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas. A gente vai precisar lembrar como derivar a função arco-tangente e aplicar a regra da cadeia para simplificar ao máximo a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta. Aqui, temos , que é basicamente uma função dentro de outra: a função está sendo elevada ao quadrado. Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia aqui, vamos considerar e . Então, a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é (essa é a derivada da função arco-tangente).

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia, substituímos por na expressão de . Então, a derivada de será:

Resposta

A derivada simplificada de é:

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