sumn=1^infty 14 n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a soma infinita . Esse exercício entra na área de séries infinitas, mais especificamente em séries envolvendo termos quadráticos no denominador. Para resolver, vamos precisar conhecer uma fórmula que nos ajude a somar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Observe que sumn=1^infty 1(2n)^2 + 1 pode ser reescrito como . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma fórmula importante para somas de séries desse tipo. A soma infinita da forma sumn=1^infty 1n^2 + a^2 = pi coth(api)2a - 12a^2 é dada por:
Aqui, é a função cosseno hiperbólico tangente.

Passo 4

No nosso caso, temos sumn=1^infty 1(2n)^2 + 1 = sumn=1^infty 1n^2 + (12)^2 = pi coth(pi2)2 cdot 12 - 12 cdot (12)^2 , que corresponde a se considerarmos . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão obtida:
pi coth(pi2)2 cdot 12 = pi coth(pi2)
E
12 cdot (12)^2 = 12 cdot 14 = 2
Portanto, a soma fica:
pi coth(pi2) - 2

Resposta

A soma infinita é igual a .

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