Obtenha a solução geral das seguintes EDOs usando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
Informações dadas (resumo útil):
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito é a soma de duas exponenciais:
e .
O que se quer: encontrar a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a homogênea:
Método: procurar soluções da forma
. Substituindo:
Como
, obtemos a equação característica
Calculo as raízes:
Para uma raiz real dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando: a presença de
multiplicando
aparece quando a raiz tem multiplicidade maior que 1, garantindo duas soluções linearmente independentes.
Passo 3
Idéia do método dos coeficientes a determinar (explicação didática curta):
- Quando o lado direito é uma soma de funções simples (como exponenciais, polinômios, senos/cossenos), tenta-se uma solução particular
com a mesma forma, mas com coeficientes a determinar. - Se alguma parcela do palpite for solução da homogênea, é preciso multiplicar o palpite por
, onde é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica (isso evita “ressonância” e garante independência linear).
Aplicando essa ideia às parcelas do lado direito: - Para
: testar , pois não é raiz da característica. - Para
: como é raiz dupla, é preciso multiplicar por . O palpite será de forma (a parte polinomial aqui tem grau zero porque o fator multiplicativo é simplesmente uma constante no RHS).
Portanto proponho o palpite global
com
e
desconhecidos a determinar.
Passo 4
Determinar
usando a parcela
.
Calculo as derivadas:
Calculo as derivadas:
Aplicando o operador
:
Esse termo deve fornecer a parte
do RHS, logo
Passo 5
Determinar
usando a parcela
.
Defino . Vou calcular
e
passo a passo (uso regra do produto).
Primeiro,
Defino
Primeiro,
Derivando:
Derivando novamente:
Aplicando produto e derivadas internas:
Simplificando o parêntese:
Logo
Agora aplico o operador
:
Substituindo as expressões obtidas (fatorando
):
Calculo somando termos dentro do colchete:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante:
.
Portanto o colchete reduz a, e
Esse resultado deve igualar a parcela
do RHS:
Passo 6
Reunir tudo: a solução particular encontrada é
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
Se desejar, pode-se agrupar os termos em
:
onde
e
são constantes arbitrárias.