Obtenha a solução geral das seguintes EDOs usando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=9 e^{2 x}+10 e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede: obter a solução geral da equação diferencial
y'' + 2y' + y = 9e^{2x} + 10e^{-x}.
Informações dadas (resumo útil):
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é a soma de duas exponenciais: 9e^{2x} e 10e^{-x}.
    O que se quer: encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Primeiro escrevo a homogênea:
y''+2y'+y=0.
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo:
r^{2}e^{rx}+2re^{rx}+e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}+2r+1)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos a equação característica
r^{2}+2r+1=0.
Calculo as raízes:
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=-1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para uma raiz real dupla r=-1 a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando: a presença de x multiplicando e^{rx} aparece quando a raiz tem multiplicidade maior que 1, garantindo duas soluções linearmente independentes.

Passo 3

Idéia do método dos coeficientes a determinar (explicação didática curta):
  • Quando o lado direito é uma soma de funções simples (como exponenciais, polinômios, senos/cossenos), tenta-se uma solução particular y_{p} com a mesma forma, mas com coeficientes a determinar.
  • Se alguma parcela do palpite for solução da homogênea, é preciso multiplicar o palpite por x^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente na equação característica (isso evita “ressonância” e garante independência linear).
    Aplicando essa ideia às parcelas do lado direito:
  • Para 9e^{2x}: testar Ae^{2x}, pois 2 não é raiz da característica.
  • Para 10e^{-x}: como r=-1 é raiz dupla, é preciso multiplicar por x^{2}. O palpite será de forma D x^{2} e^{-x} (a parte polinomial aqui tem grau zero porque o fator multiplicativo é simplesmente uma constante no RHS).
Portanto proponho o palpite global
y_{p}(x)=A e^{2x} + D x^{2} e^{-x},
com A e D desconhecidos a determinar.

Passo 4

Determinar A usando a parcela A e^{2x}.
Calculo as derivadas:
y_{p1}=A e^{2x},\qquad y_{p1}'=2A e^{2x},\qquad y_{p1}''=4A e^{2x}.
Aplicando o operador L[y]=y''+2y'+y:
L[A e^{2x}] = (4A + 2\cdot 2A + A)e^{2x} = 9A e^{2x}.
Esse termo deve fornecer a parte 9e^{2x} do RHS, logo
9A e^{2x}=9 e^{2x}\quad\Rightarrow\quad 9A=9\quad\Rightarrow\quad A=1.

Passo 5

Determinar D usando a parcela D x^{2} e^{-x}.
Defino y_{p2}=D x^{2} e^{-x}. Vou calcular y_{p2}' e y_{p2}'' passo a passo (uso regra do produto).
Primeiro,
y_{p2}=D x^{2} e^{-x}.
Derivando:
y_{p2}'=D\big(2x e^{-x} + x^{2}(-e^{-x})\big)=D e^{-x}(2x - x^{2}).
Derivando novamente:
y_{p2}''=D\frac{d}{dx}\big(e^{-x}(2x - x^{2})\big).
Aplicando produto e derivadas internas:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}(2x - x^{2})\big)=e^{-x}\big(-(2x - x^{2}) + (2 - 2x)\big).
Simplificando o parêntese:
-(2x - x^{2}) + (2 - 2x) = -2x + x^{2} + 2 - 2x = x^{2} -4x +2.
Logo
y_{p2}''=D e^{-x}(x^{2} -4x +2).
Agora aplico o operador L:
L[y_{p2}] = y_{p2}'' + 2y_{p2}' + y_{p2}.
Substituindo as expressões obtidas (fatorando D e^{-x}):
L[y_{p2}] = D e^{-x}\big( (x^{2}-4x+2) + 2(2x - x^{2}) + x^{2}\big).
Calculo somando termos dentro do colchete:
  • Coeficiente de x^{2}: 1 + 2(-1) + 1 = 1 -2 +1 = 0.
  • Coeficiente de x: -4 + 2\cdot 2 + 0 = -4 +4 = 0.
  • Constante: 2 + 0 + 0 = 2.
    Portanto o colchete reduz a 2, e
L[y_{p2}] = D e^{-x}\cdot 2 = 2D e^{-x}.
Esse resultado deve igualar a parcela 10e^{-x} do RHS:
2D e^{-x} = 10 e^{-x} \quad\Rightarrow\quad 2D = 10 \quad\Rightarrow\quad D=5.

Passo 6

Reunir tudo: a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=1\cdot e^{2x} + 5 x^{2} e^{-x}=e^{2x}+5x^{2}e^{-x}.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-x} + e^{2x} + 5x^{2}e^{-x}.
Se desejar, pode-se agrupar os termos em e^{-x}:
y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x+5x^{2}\big)e^{-x} + e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{-x}+e^{2x}+5x^{2}e^{-x}

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