Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Determine a derivada de f(x)=\operatorname{arccos} (5 x).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de f(x)=\operatorname{arccos}(5x). Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\operatorname{arccos}(5x).
  • A única pergunta é: encontrar f'(x) (a derivada em relação a x).
  • Observação sobre domínio: a função \operatorname{arccos} exige que |5x|\le 1, ou seja x\in\left[-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5}\right]. (Só estou listando isso porque é informação relevante ao final.)

Passo 2

Vamos usar a Regra da Cadeia, que serve para derivar uma função composta. A fórmula é:
\text{Se }F(x)=g(h(x)),\text{ então }F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).ã
Explicando: g é a função externa, h é a função interna. Primeiro deriva-se g em relação à sua variável (denotada aqui por u), depois avalia-se essa derivada em u=h(x) e multiplica-se pela derivada de h em relação a x. Isso é exatamente o que vamos aplicar em f(x)=\operatorname{arccos}(5x), onde a função externa é g(u)=\operatorname{arccos}(u) e a interna é h(x)=5x.

Passo 3

Precisamos da derivada da função g(u)=\operatorname{arccos}(u) em relação a u. Vou deduzir essa fórmula por diferenciação implícita (é um truquezinho padrão e útil de lembrar):
  • Seja y=\operatorname{arccos}(u). Isso significa \cos(y)=u.
  • Diferenciando ambos os lados com respeito a u (tratando y como função de u):
-\sin(y)\,\frac{dy}{du}=1.
  • Logo
\frac{dy}{du}=-\frac{1}{\sin(y)}.
  • Para eliminar \sin(y) em favor de u, usamos a identidade pitagórica \sin^2(y)+\cos^2(y)=1. Como \cos(y)=u, temos \sin(y)=\sqrt{1-u^2}.
  • Aqui é importante lembrar o intervalo de \operatorname{arccos}: y\in[0,\pi], então \sin(y)\ge 0 e a raiz positiva é a correta. Portanto
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Essa é a fórmula padrão que vamos usar. Em palavras: a derivada da arccos é negativa e tem um denominador com uma raiz quadrada de 1-u^2.

Passo 4

Agora aplicamos a Regra da Cadeia com g(u)=\operatorname{arccos}(u) e u=h(x)=5x. Pela Passo 2:
f'(x)=\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)\Big|_{u=5x}\cdot\frac{d}{dx}(5x).

Passo 5

Usando a fórmula da Passo 3 e calculando a derivada de 5x:
  • \dfrac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)\Big|_{u=5x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}}.
  • \dfrac{d}{dx}(5x)=5.
    Multiplicando:
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}}\cdot 5.

Passo 6

Simplificando a expressão:
f'(x) = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}.
Essa é a forma final e prática para usar na prova.

Passo 7

Observações finais úteis para a prova (resumo prático):
  • A derivada existe para os pontos em que o denominador está bem definido, ou seja quando 1-25x^2>0, isto é |x|<\tfrac{1}{5}.
  • A função original f está definida em |x|\le\tfrac{1}{5}, mas nos extremos x=\pm\tfrac{1}{5} a derivada não existe (denominador zero).
  • Maneira rápida de decorar: se f(x)=\operatorname{arccos}(kx) então f'(x)=-\dfrac{k}{\sqrt{1-k^2x^2}}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}

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