Questão 5. Resolva cada um dos itens abaixo.
Determine a derivada de f(x)=\operatorname{arccos} (5 x).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada de f(x)=\operatorname{arccos}(5x). Informações fornecidas:
A função é f(x)=\operatorname{arccos}(5x).
A única pergunta é: encontrar f'(x) (a derivada em relação a x).
Observação sobre domínio: a função \operatorname{arccos} exige que |5x|\le 1, ou seja x\in\left[-\tfrac{1}{5},\tfrac{1}{5}\right]. (Só estou listando isso porque é informação relevante ao final.)
Passo 2
Vamos usar a Regra da Cadeia, que serve para derivar uma função composta. A fórmula é:
\text{Se }F(x)=g(h(x)),\text{ então }F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando: g é a função externa, h é a função interna. Primeiro deriva-se g em relação à sua variável (denotada aqui por u), depois avalia-se essa derivada em u=h(x) e multiplica-se pela derivada de h em relação a x. Isso é exatamente o que vamos aplicar em f(x)=\operatorname{arccos}(5x), onde a função externa é g(u)=\operatorname{arccos}(u) e a interna é h(x)=5x.
Passo 3
Precisamos da derivada da função g(u)=\operatorname{arccos}(u) em relação a u. Vou deduzir essa fórmula por diferenciação implícita (é um truquezinho padrão e útil de lembrar):
Seja y=\operatorname{arccos}(u). Isso significa \cos(y)=u.
Diferenciando ambos os lados com respeito a u (tratando y como função de u):
-\sin(y)\,\frac{dy}{du}=1.
Logo
\frac{dy}{du}=-\frac{1}{\sin(y)}.
Para eliminar \sin(y) em favor de u, usamos a identidade pitagórica \sin^2(y)+\cos^2(y)=1. Como \cos(y)=u, temos \sin(y)=\sqrt{1-u^2}.
Aqui é importante lembrar o intervalo de \operatorname{arccos}: y\in[0,\pi], então \sin(y)\ge 0 e a raiz positiva é a correta. Portanto