Obtenha a solução geral das seguintes equações de Cauchy-Euler (e a solução do PVI no caso a):
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0, y(1)=2, y^{\prime}(1)=-1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais, e pede a solução geral e a solução do problema de valor inicial (PVI). Informações dadas:
  • Equação: x^{2}y'' + 2x y' - 2y = 0.
  • Condições iniciais: y(1)=2 e y'(1)=-1.
O que é pedido:
  • A solução geral da equação.
  • A solução que satisfaz as condições iniciais (PVI).

Passo 2

Idéia do método (explicação didática): para equações do tipo x^{2}y'' + a x y' + b y = 0 (equação de Cauchy–Euler), uma técnica eficiente é tentar uma solução do tipo y=x^{r}, onde r é uma constante a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando y=x^{r} temos:
y' = r x^{r-1},\qquad y'' = r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo essas expressões na equação, todos os termos terão a mesma potência de x (aqui x^{r}), de modo que separamos um fator x^{r} e obtemos uma equação algébrica para r. Essa equação algébrica chama-se equação indicial (ou característica). As raízes dessa equação determinam a forma da solução geral:
  • Se as raízes r_1 e r_2 forem reais e distintas, a solução geral é y=C_1 x^{r_1}+C_2 x^{r_2}.
  • Se houver raiz dupla r, a solução é y=(C_1 + C_2\ln x)x^{r}.
  • Se as raízes forem complexas \alpha\pm i\beta, a solução real é y = x^{\alpha}\big(C_1\cos(\beta\ln x)+C_2\sin(\beta\ln x)\big).

Passo 3

Aplicando a tentativa y=x^{r} na equação dada. Usando y' = r x^{r-1} e y''=r(r-1)x^{r-2}, substitui-se em
x^{2}y'' + 2x y' - 2y = 0.
Isso dá
x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big) + 2x\big(r x^{r-1}\big) - 2\big(x^{r}\big) = 0.
Fatorando x^{r} (que para x\neq 0 não é zero) obtemos a equação indicial:
r(r-1) + 2r - 2 = 0.

Passo 4

Simplificando a equação indicial:
r(r-1)+2r-2 = r^{2}-r+2r-2 = r^{2}+r-2 = 0.
Resolver a quadrática:
r^{2}+r-2=0.
Calcula-se a discriminante \Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9. Assim
r = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2} = \frac{-1\pm3}{2}.
Logo as raízes são
r_{1} = \frac{-1+3}{2}=1,\qquad r_{2}=\frac{-1-3}{2}=-2.

Passo 5

Como as raízes r_{1}=1 e r_{2}=-2 são reais e distintas, a forma geral da solução é
y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}} = C_{1}x + C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para obter C_{1} e C_{2}. Primeiro calcule a derivada de y(x):
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-2},
y'(x)=C_{1} + C_{2}(-2)x^{-3} = C_{1} - 2C_{2}x^{-3}.
Avalia-se em x=1:
y(1)=C_{1}+C_{2}=2,
y'(1)=C_{1}-2C_{2}=-1.

Passo 7

Resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=-1. \end{cases}
Subtrair a segunda equação da primeira:
(C_{1}+C_{2})-(C_{1}-2C_{2}) = 2-(-1) \quad\Rightarrow\quad 3C_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.
Então (C_{1}=2-C_{2}=2-1=1].]

Passo 8

Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
y(x)=1\cdot x + 1\cdot x^{-2} = x + x^{-2}.
(Breve verificação: y(1)=1+1=2 e y'(x)=1-2x^{-3} y'(1)=1-2=-1, conforme exigido.)

Resposta

Solução geral: y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{-2}
Solução do PVI: y(x)=x + x^{-2}

Exercícios relacionados