Obtenha a solução geral das seguintes equações de Cauchy-Euler (e a solução do PVI no caso a):
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais, e pede a solução geral e a solução do problema de valor inicial (PVI). Informações dadas:
- Equação:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido:
- A solução geral da equação.
- A solução que satisfaz as condições iniciais (PVI).
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): para equações do tipo
(equação de Cauchy–Euler), uma técnica eficiente é tentar uma solução do tipo
, onde
é uma constante a determinar. Por que isso funciona? Porque derivando
temos:
Substituindo essas expressões na equação, todos os termos terão a mesma potência de
(aqui
), de modo que separamos um fator
e obtemos uma equação algébrica para
. Essa equação algébrica chama-se equação indicial (ou característica). As raízes dessa equação determinam a forma da solução geral:
- Se as raízes
e forem reais e distintas, a solução geral é . - Se houver raiz dupla
, a solução é . - Se as raízes forem complexas
, a solução real é .
Passo 3
Aplicando a tentativa
na equação dada. Usando
e
, substitui-se em
Isso dá
Fatorando
(que para
não é zero) obtemos a equação indicial:
Passo 4
Simplificando a equação indicial:
Resolver a quadrática:
Calcula-se a discriminante
. Assim
Logo as raízes são
Passo 5
Como as raízes
e
são reais e distintas, a forma geral da solução é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais para obter
e
. Primeiro calcule a derivada de
:
Avalia-se em
:
Passo 7
Resolver o sistema linear para
Subtrair a segunda equação da primeira:
Então (C_{1}=2-C_{2}=2-1=1].]
Passo 8
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
(Breve verificação:
e
dá
, conforme exigido.)
Resposta
Solução geral:
Solução do PVI:
Solução do PVI: