Considere a equação de Legendre
. Sabemos que os coeficientes da solução em série de potências satisfazem a relação de recorrência
Se
obtenha a solução da equação quando a condição inicial é
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Legendre
e a relação de recorrência dos coeficientes da solução em série de potências
Temos
e a condição inicial
e
. A pergunta é: encontrar a solução
que satisfaz essas condições.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A solução será procurada por série de potências
. - A recorrência relaciona
com e depende do parâmetro . - As condições iniciais fornecem
e através de e .
Passo 2
Especializar a recorrência para
. Substituindo
na fórmula:
Vou explicar por que a solução será um polinômio: note que o numerador tem o fator
. Quando
esse fator zera, o que força
(se
for finito). Mais ainda, a recorrência separa par e ímpar:
depende apenas de
e
depende apenas de
. Como
, todos os coeficientes ímpares serão zero (explico isso no próximo passo).
Lembrando as condições iniciais em termos dos coeficientes:
Passo 3
Mostrar que todos os coeficientes ímpares são zero. A recorrência para índices ímpares tem a mesma forma; por exemplo com
:
porque
. Repetindo a argumentação, se
então
(fator)
. Como
, segue por indução que
para todo
. Assim a série tem apenas termos de potência par:
Passo 4
Calcular os coeficientes pares usando a recorrência. Começando com
(que liga
a
):
Mostrei passo a passo: multipliquei
por
para obter
e dividi por
.
Agora
(liga
a
):
Calculei numerador e denominador:
e
. Então
Fiz a simplificação dividindo numerador e denominador por
.
Passo 5
Verificar o termo seguinte: para
a recorrência dá
Como
, e a recorrência propaga zeros para todos os coeficientes de ordem maior (pois cada
é múltiplo de algum
anterior), a série termina e a solução é um polinômio de grau
.
Juntando os coeficientes não nulos
obtemos
Passo 6
Comentário didático rápido (opcional, para fixar a ideia): o fato de
ser inteiro não-negativo faz com que a recorrência zere um coeficiente e a série se torne um polinômio — estes são os polinômios de Legendre. Aqui a solução obtida coincide com a versão normalizada de
que satisfaz
. Em particular, a forma padrão de
é
e multiplicando por
obtém-se a solução com valor
em
, o que confirma a expressão encontrada.