Obtenha todas as reações da viga utilizando o método da superposição de efeitos.

Passo 1

Temos uma viga de comprimento L, engastada em A e apoiada em B por uma mola de rigidez k. Sobre a viga atua uma carga concentrada F a uma distância a de A. Queremos encontrar as reações no engaste A (esforço cortante V_A e momento M_A) e a força na mola em B, denotada R_B, usando o método da superposição (compatibilidade de deslocamentos).

Passo 2

Calculemos a flecha em B devido apenas à carga F, supondo a extremidade em B livre. Para uma viga engastada em A com carga F a uma distância a, a deflexão em B é
\delta_F \;=\;\frac{F\,a^2\,(3L - a)}{6\,E I}.

Passo 3

Calculemos agora a flecha em B devida apenas à reação R_B, supondo a viga sem a carga F e com R_B aplicada verticalmente para cima em B. Como é uma ponta de cantiléver, a deflexão em B é
\delta_{R} \;=\;\frac{R_B\,L^3}{3\,E I}.

Passo 4

No equilíbrio de compatibilidade a flecha total da viga em B deve coincidir com a flecha da mola. Ou seja,
\delta_F \;-\;\delta_{R} \;=\;\delta_{\text{mola}} \quad\text{com}\quad \delta_{\text{mola}}=\frac{R_B}{k}.

Passo 5

Substituindo \delta_F e \delta_{R} na compatibilidade:
\frac{F\,a^2\,(3L - a)}{6\,E I} \;-\; \frac{R_B\,L^3}{3\,E I} \;=\; \frac{R_B}{k}.
Reagrupando termos em R_B:
\frac{F\,a^2\,(3L - a)}{6\,E I} \;=\; R_B\Bigl(\frac{L^3}{3\,E I}+\frac{1}{k}\Bigr).
Logo
R_B \;=\; \frac{F\,a^2\,(3L - a)}{6\,E I}\;\Big/\;\Bigl(\frac{L^3}{3\,E I}+\frac{1}{k}\Bigr).
Se a mola tem k=\frac{4\,E I}{L^3}, então \frac{1}{k}=\frac{L^3}{4\,E I} e
\frac{L^3}{3\,E I}+\frac{L^3}{4\,E I} =\frac{7\,L^3}{12\,E I} \quad\Longrightarrow\quad R_B =\frac{F\,a^2\,(3L - a)}{6\,E I}\cdot\frac{12\,E I}{7\,L^3} =\frac{2\,F\,a^2\,(3L-a)}{7\,L^3}.

Passo 6

Pela estática da viga inteira, o esforço cortante em A é
V_A = F - R_B
e o momento em A é
M_A = R_B\,L \;-\; F\,a.

Resposta

R_B = \frac{2\,F\,a^2\,(3L - a)}{7\,L^3},\quad V_A = F - R_B,\quad M_A = R_B\,L - F\,a.

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