(a) Determine the torque that can be applied to a solid shaft of 20-\mathrm{mm} diameter without exceeding an allowable shearing stress of 80 MPa . (b) Solve part a, assuming that the solid shaft has been replaced by a hollow shaft of the same cross-sectional area and with an inner diameter equal to half of its outer diameter.

Passo 1

O enunciado pede determinar o torque máximo T em um eixo circular sujeito a esforço cortante de 80\:\text{MPa}. No item (a) o eixo é sólido de diâmetro 20\:\text{mm}; no item (b) esse eixo é substituído por um eixo oco de mesma área e com diâmetro interno igual à metade do diâmetro externo. O conteúdo é torção em eixos cilíndricos e usaremos a relação entre torque, momento polar de inércia e tensão cortante.

Passo 2

Na teoria da torção, a tensão cortante máxima \tau_{\max} em seção circular relaciona-se ao torque T por
\tau_{\max} = \frac{T\,c}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção e c o raio externo. Isolando T,
T = \frac{\tau_{\max}\,J}{c}.

Passo 3

Para o eixo sólido de diâmetro d tem-se
J = \frac{\pi\,d^4}{32}, \quad c = \frac{d}{2}.
Substituindo em T resulta
T_s = \tau_{\max}\,\frac{\pi\,d^4/32}{d/2} = \tau_{\max}\,\frac{\pi\,d^3}{16}.

Passo 4

Numericamente, com d = 20\:\text{mm}=0{,}02\:\text{m} e \tau_{\max}=80\times10^6\:\text{Pa},
T_s = 80\times10^6\cdot\frac{\pi\,(0{,}02)^3}{16} \approx 125{,}7\:\text{N\cdotm}.

Passo 5

Para o eixo oco, chamando D o diâmetro externo e d_i = D/2 o diâmetro interno, a área da seção é
A_o = \frac{\pi}{4}(D^2 - d_i^2) = \frac{3\pi\,D^2}{16}.
Igualando à área do sólido \pi d^2/4 resulta
\frac{3\pi\,D^2}{16} = \frac{\pi\,d^2}{4} \;\Rightarrow\; D^2 = \frac{4}{3}\,d^2 \;\Rightarrow\; D = \frac{2}{\sqrt3}\,d.

Passo 6

O momento polar de inércia do eixo oco é
J_o = \frac{\pi}{32}(D^4 - d_i^4) = \frac{15\pi\,D^4}{512},
e o raio externo c_o = D/2. Assim, o torque admissível é
T_o = \tau_{\max}\,\frac{J_o}{c_o} = \tau_{\max}\,\frac{15\pi\,D^3}{256}.

Passo 7

Substituindo D = \tfrac{2}{\sqrt3}\,d e os valores numéricos,
T_o = 80\times10^6\cdot\frac{15\pi}{256}\Bigl(\frac{2}{\sqrt3}\,0{,}02\Bigr)^3 \approx 181{,}2\:\text{N\cdotm}.

Resposta

(a) T_s \approx 125{,}7\:\text{N\cdotm}.
(b) T_o \approx 181{,}2\:\text{N\cdotm}.

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