Obtenha todas as soluções que satisfazem a equação
. Represente as soluções na forma exponencial com argumento principal. Escolha uma das soluções e calcule seus inversos da soma e da multiplicação
Passo 1
O enunciado pede as quatro raízes quartas de
, ou seja os complexos
tais que
O conteúdo é raízes de números complexos em forma exponencial e vamos usar a forma polar/exponencial de complexos e o teorema de De Moivre para achar todas as soluções.
Passo 2
Primeiro escrevemos
em forma exponencial. O módulo é
e o argumento principal de
é
, pois
Passo 3
Para achar as raízes quartas usamos a fórmula geral
Como
, obtemos
Passo 4
Agora ajustamos cada ângulo ao intervalo
para ter o argumento principal:
- Para
: . - Para
: . - Para
: , que em principal dá . - Para
: , que em principal dá .
Logo as quatro soluções são
Passo 5
Escolhendo a solução
calculamos seu inverso da soma (ou inverso aditivo) e seu inverso da multiplicação (ou inverso multiplicativo):
- Inverso da soma:
. Podemos reescrever em forma exponencial com argumento principal:
- Inverso da multiplicação:
Resposta
As quatro raízes quartas de
em forma exponencial com argumento principal são
Para a escolha
: