Obtenha todas as soluções que satisfazem a equação z=(-16)^1 / 4. Represente as soluções na forma exponencial com argumento principal. Escolha uma das soluções e calcule seus inversos da soma e da multiplicação

Passo 1

O enunciado pede as quatro raízes quartas de -16, ou seja os complexos z tais que
z^4 = -16
O conteúdo é raízes de números complexos em forma exponencial e vamos usar a forma polar/exponencial de complexos e o teorema de De Moivre para achar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro escrevemos -16 em forma exponencial. O módulo é 16 e o argumento principal de -16 é pi, pois
-16 = 16,e^ipi

Passo 3

Para achar as raízes quartas usamos a fórmula geral
zk = l(16,e^ipir)^1/4 = 16^1/4,e^i(pi + 2pi k)/4 para k=0,1,2,3
Como 16^1/4=2, obtemos
zk = 2,e^il(pi4 + pi k2r)

Passo 4

Agora ajustamos cada ângulo ao intervalo (-pi,pi] para ter o argumento principal:
  • Para k=0: dfracpi4.
  • Para k=1: dfracpi4+tfracpi2=tfrac3pi4.
  • Para k=2: dfracpi4+pi=tfrac5pi4, que em principal dá -tfrac3pi4.
  • Para k=3: dfracpi4+tfrac3pi2=tfrac7pi4, que em principal dá -tfracpi4.
Logo as quatro soluções são
2,e^ipi/4, 2,e^i3pi/4, 2,e^-i3pi/4, 2,e^-ipi/4

Passo 5

Escolhendo a solução
z = 2,e^ipi/4,
calculamos seu inverso da soma (ou inverso aditivo) e seu inverso da multiplicação (ou inverso multiplicativo):
  • Inverso da soma: -z = -2,e^ipi/4. Podemos reescrever em forma exponencial com argumento principal:
-z = 2,e^i(pi/4+pi) = 2,e^i5pi/4 = 2,e^-i3pi/4
  • Inverso da multiplicação:
z^-1 = 12,e^ipi/4 = 12,e^-ipi/4

Resposta

As quatro raízes quartas de -16 em forma exponencial com argumento principal são
2,e^ipi/4, 2,e^i3pi/4, 2,e^-i3pi/4, 2,e^-ipi/4
Para a escolha z=2,e^ipi/4:
inverso aditivo: -z = 2,e^-i3pi/4, inverso mu<iplicativo: z^-1 = tfrac12,e^-ipi/4

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