Determine o conjunto S das desigualdades abaixo, onde S e o conjunto solução, para x in R.
x+1x+2>x+3x+4

Passo 1

O enunciado pede a solução da desigualdade
x+1x+2 > x+3x+4,
em xinR. É uma desigualdade entre funções racionais; vamos trazê-la para um único lado, obter uma fração só e, então, analisar o sinal do numerador e do denominador.

Passo 2

Subtraímos o segundo membro do primeiro para ter tudo em uma única expressão:
x+1x+2 - x+3x+4 > 0
Para juntar as frações, usamos o denominador comum (x+2)(x+4).

Passo 3

Calculando o numerador:
(x+1)(x+4) - (x+3)(x+2) = (x^2 + 5x + 4) - (x^2 + 5x + 6) = -2
Assim a desigualdade vira
-2(x+2)(x+4) > 0
Lembre que não podemos ter x = -2 nem x = -4 porque anulam o denominador.

Passo 4

O numerador -2 é sempre negativo. Para a fração ser positiva, o denominador (x+2)(x+4) deve ser também negativo. Logo,
(x+2)(x+4) < 0
As raízes desse produto são x=-4 e x=-2, e o sinal do produto é negativo exatamente entre elas. Portanto,
-4 < x < -2

Resposta

S = (-4, -2)

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