Obtenha a transformada de Fourier dos seguintes sinais através de integração e esboce o espectro de Fourier (somente magnitude),
  • 2 ret(t / pi)

Passo 1

Beleza, a questão pede a transformada de Fourier de
x(t)=2,ret!l(tfractpir)
Ou seja, um pulso retangular de altura 2 e largura π, calculado por integração direta. Vamos usar:
  • A definição da função ret (rect)
  • A integral da transformada de Fourier
  • Propriedade de que gera senos

Passo 2

Primeiro, entenda o que é x(t)= 2, & |t|:
X(omega)=integral-pi/2^pi/22,e^-jomega t,dt se e zero caso contrário.
Então para , ou seja .
Nosso sinal vira
á
A transformada de Fourier (no esquema ) reduz-se a

Passo 3

Hora de integrar:
X(omega) &=2integral-pi/2^pi/2e^-jomega tdt =2[e^-jomega t-jomega]-pi/2^pi/2 &=2,e^-jomega(pi/2)-e^,jomega(pi/2),-jomega =2-2jsin!l(tfracomegapi2r)-jomega &=;4,sin!l(tfracomegapi2r)omega
Para ficar mais “bonitinho”, usamos a definição
X(omega) =4,sin!l(tfracomegapi2r)omega =2pi;sinc!l(tfracomegapi2r) ,
então

Resposta

Transformada de Fourier:
boxedX(omega) =4,sin!l(tfracomegapi2r)omega ;=; 2pi,sinc!l(tfracomegapi2r)
Magnitude (espectro): é a forma de um sinc, com pico em de altura e zeros em .

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